Граничные условия

Поскольку в прикладных задачах краевые условия обычно ставятся в естественных переменных v_x, v_y и P, рассмотрим особенности постановки граничных условий для функций тока и завихренности.

Граничные условия для функции тока

Пусть – вектор единичной внешней нормали к границе  рассматриваемой области , – единичный касательный вектор (рис. 5 .0). Проекции вектора скорости на и определяются выражениями

,

.

Рис. 5.0. Схема расчетной области

Из первого выражения следует, что

.

Поскольку функция  определяется с точностью до константы, граничные значения функции тока определяются выражением

, (5.9)

где s – дуговая координата, отсчитываемая вдоль границы Г от точки A, для которой принято .

Граничные условия для функции завихренности

Для записи граничных условий для функции завихренности на твердой границе выбирается произвольная точка A. На расстоянии l от нее по нормали в глубь области  выбирается точка B (рис. 5 .0). Вблизи точки B функция тока  разлагается в ряд Тейлора

.

Поскольку, как показано ранее, , и, согласно ( 5 .7),

,

получается

.

Отсюда следует формула Тома [16] для функции завихренности,

. (5.10)

В частности, вдоль твердой границы, и формула ( 5 .10) упрощается,

.

Соотношения метода взвешенных невязок

Решения дифференциальных уравнений ( 5 .6) и ( 5 .7) в пределах отдельного треугольного конечного элемента представляются в форме

,

,

где, как и ранее, пробные кусочно-линейные функции для p-го конечного элемента имеют вид

,

– узловые значения функций _m и _m, подлежащие определению.

Разрешающие соотношения для функции тока

Пусть приближенное решение _m уравнения ( 5 .6) для некоторого момента времени t известно. Невязка уравнения ( 5 .7) на приближенном решении _m взвешивается по области  _p конечного элемента с использованием тех же пробных функций , Остроградский

.

Преобразования этого уравнения с использованием теоремы¹ Остроградского²-Гаусса приводят к выражению

.

Учитывая способ представления решений _m, _m и соотношение , полученное выражение можно переписать в виде

.

С использованием обозначений

,

полученный результат удобно представить в матричной форме в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений ,

. (5.11)

Разрешающие соотношения для функции завихренности

Пусть задача ( 5 .11) решена, то есть решение _m уравнения ( 5 .7) найдено, в соответствии с формулами ( 5 .1) вычислены компоненты v_x и v_y вектора скорости. Невязка уравнения ( 5 .6) на приближенном решении _m взвешивается по области  _p конечного элемента с применением пробных функций ,

,

.

Слагаемые, входящие в это выражение, преобразуются с учетом представления приближенного решения _m,

,

,

.

Подстановка всех полученных слагаемых приводит к выражению

.

Вводя дополнительные обозначения

,

полученное соотношение можно записать в матричном виде

.

Использование разностной схемы Крэнка-Николсона

,

приводит к системе алгебраических уравнений относительно узловых значений ,

. (5.12)

Разрешающие соотношения для поля давления

Пусть задачи ( 5 .11) и ( 5 .12) решены и функции _m и _m определены, компоненты v_x и v_y вектора скорости найдены в соответствии с выражениями ( 5 .1). Невязка уравнения ( 5 .8) взвешивается по области _p конечного элемента с применением пробных функций ,

.

Использование обозначений

,

и представления приближенного решения P_m в виде

,

позволяет получить систему уравнений для нахождения давления P_m в виде

,

,

,

.

В матричной записи эта система линейных алгебраических уравнений записывается в форме

, (5.13)

где

.