7.3 Центр ваги твердого тіла

Сили тяжіння окремих частин тіла до Землі направлені при­близно до центру Землі. Оскільки розміри таких тіл малі, порівняно з радіусом Землі, то ці сили можна вважати паралельними. Рівновага цих паралельних сил, рівна їх сумі, і є вагою тіла, а центр цієї системи паралельних сил, в якому прикладена вага тіла, називається центром ваги тіла. В твердому тілі центр ваги займає певне визначене поло­ження, що не залежить від розміщення тіла в просторі. Позначимо сили притягання окремих частинок тіла до Землі , вагу тіла, координати його центра ваги x_с,y_c,z_c, а координати будь-якої частини твердого тіла x_і,y_і,z_і (рис. 7.3). Координати центра ваги твердого тіла можна визначити як координати центра паралель­них сил. Для центра ваги формули (6.2) приймуть вигляд:

Рис. 7.3

^(7.3)

де суми розповсюджені на всі частини твердого тіла. В цих формулах алгебраїчними величинами є тільки координати точок, а значення всі додатні, оскільки всі сили спрямовані в один бік. Визначимо положення центра ваги однорідного тіла. Вага однорідного тіла визна­чається формулою , де V - об'єм тіла, у - вага одиниці об'єму. Аналогічно вага кожної частини визначається за формулою , де - об'єм елементарної частинки М_і тіла. По­значимо x_і,y_і,z_і координати центра ваги цієї частини. Підставивши ці значення в (6.3), одержимо:

^або

^{; аналогічно (7.4)}

Центр ваги однорідного тіла, що заповнює деякий об'єм, нази­вається центром ваги цього об 'ему.

7.4 Центр ваги плоскої фігури. Статичний момент площі плоскої фігури відносно осі

Однорідне тіло, що має форму тонкої пластинки, можна роз­глядати як матеріальну плоску фігуру. Положення центра ваги плоскої фігури визначається двома координатами х_с і у_с (рис. 7.4). Вагу одно­рідної пластинки виразимо формулою , де F - площа плоскої фігури; ω — вага одиниці площі.

Рис. 7.4

Розіб'ємо фігуру на елементарні площинки. Вага кожної пло­щинки М_і визначається формулою , де - її площа. Позначимо x_і,y_і координати центра ваги елементарної площинки M_і. Тоді координати центра ваги фігури визначаться за формулою (7.3)

^або

^{; аналогічно (7.5)}

де підсумовування розповсюджені на всі елементи площини. Ці фор­мули показують, що координати х_с і у_с центра ваги однорідної пла­стини не залежать від постійної ω , що характеризує матеріал пласти­ни.

Центр ваги однорідної пластини називають центром ваги площі цієї пластини.

Сума добутків елементарних площ, що входять до складу площі фігури, на алгебраїчні значення їх відстаней до деякої осі нази­вається статичним моментом площі плоскої фігури відносно цієї осі.

Позначивши S_х і S_v статичні моменти площини відносно осей X і Y, на основі (7.5) маємо

^(7.6)

Таким чином, статичний момент площі плоскої фігури відно­сно осі дорівнює добутку площі фігури на алгебраїчне значення від­стані від центру ваги до цієї осі.

Статичний момент площі плоскої фігури відносно осі виража­ється в см³.

Якщо відомі статичні моменти відносно координатних осей, то координати її центра ваги можна визначити за формулами:

^(7.7)

Очевидно, що статичний момент відносно осі, що проходить через центр ваги фігури, рівний нулю.