15. Действия над комплексными числами.

1. Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число

(1)

Свойства:

1) - переместительное.

2) - сочетательное.

2. Разность комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число z, которое, будучи сложенное с , дает .

(2)

Геометрически вычитание комплексных чисел производится как и векторов.

Модуль разности двух комплексных чисел равен:

3. Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

(3)

Свойства:

1. - переместительное.

2. - сочетательное.

3. - распределительное.

Если числа заданы в триганометрической форме и , тогда произведение будет равно

(4)

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Возведение в степень

(5)

Эта формула называется формулой Муавра.

4. Деление комплексных чисел

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на число , дает .

(6)

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем

Для триганометрической формы записи комплексных чисел формула деления имеет вид:

(7)

При делении комплексных чисел их модули соответственно делятся, а аргументы соответственно вычитаются.

5. Извлечение корней из комплексных чисел

- формула Муавра.

Пусть , где .

Тогда на основании формулы Муавра имеем

Отсюда

, (k = 0, 1, 2 и т.д.)

Следовательно, , .

Таким образом, окончательно

, (8)

где (k = 0, 1, 2, …, n-1).

16. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой.

Уравнением линии на плоскости xOy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y в каждой точке этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Обозначается или , где - некоторая функциональная зависимость.

Уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая пересекает ось Oy в точке B и образует с осью Ox угол ().

y

M(x,y)

B(0,b) N(x,b)

b x

O A(x,0)

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y). Через точку M проведем прямую, параллельную Oy. Рассмотрим треугольник .

. Отсюда получим (1)

Формула (1) задает уравнение прямой.

Можно доказать, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (1). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению прямой с условным коэффициентом.

Частные случаи.

1. b = 0, y = kx. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при острый угол, а при - тупой угол.

2. , . y = b. Это уравнение прямой, параллельной оси Ox. Уравнение самой оси Ox имеет вид y = 0.

3. , не существует. Вертикальные прямые не имеют углового коэффициента.

Формула уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Пусть прямая проходит через точку M(x,y), точка лежит на прямой, прямая образует с осью Ox угол отличный от прямого. Тогда

, где (2)

Уравнение пучка прямых: , где k – произвольное число.

Уравнение прямой, проходящей через две данных точки и .

(3)

Уравнение прямой в отрезках: (4)

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение прямой 1-й степени с двумя переменными.

, (5)

в котором A и B не равны одновременно нулю, т.е. .

Случаи:

1. . . Положив , , получим . Если в этом случае и , то мы получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Если , , то получим , т.е. прямую, проходящую через начало координат.

3. Если , , то получим , т.е. прямую, параллельную оси Ox.

4. Если , , то получим уравнение оси Ox.

5. Если , , , то получим x = b.

Таким образом, при любых значениях коэффициентов A и B, одновременно не равных 0 и C уравнение (5) есть уравнение прямой на плоскости xOy. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых общее уравнение включает и случаи прямых, параллельных оси Oy.