20. Множества. Основные понятия. Свойства.
Множество – это совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.
Множество может содержать конечное и бесконечное число объектов.
Пусть X и Y – два множества. Тогда между ними можно определить отношения:
-
Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают.
X = Y.
-
Если все элементы множества X содержатся в Y, то X целиком содержится в Y.
X
Y.
-
Если ни один элемент X не содержится в Y, то и само X не содержится в Y.
X
Y.
-
Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством.
-
Суммой или объединением X и Y называется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y (обладающих свойством множеств X и Y).
X
Y или X
+ Y.
-
Пересечением множеств X и Y или их общей части является совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y.
X
Y.
-
Разностью множеств X и Y называется множеств, содержащее все элементы множества X, не содержащееся в Y.
X \ Y.
Примечание.
Когда говорят о множествах, используют
символику
– любой,
– существует.
Будем говорить,
что множество вещественных чисел
ограничено сверху, если существует
такое число
,
при котором любое число x
входящее в множество X
меньше или равно
.
Множество
вещественных чисел ограничено снизу,
если существует такое число
,
при котором любое число x
входящее в множество X
больше или равно
.
В первом случае
число
называется верхней гранью множества
X, а во втором случае
нижней гранью множества X.
Множество, ограниченное сверху и снизу называется ограниченным. Любой конечный промежуток – ограничен.
Наименьшая верхняя грань ограниченного сверху множества X называется точной верхней гранью этого множества и обозначается Sup X.
Наибольшая нижняя грань ограниченного снизу множества X называется точной нижней гранью этого множества и обозначается Inf X.
Множество X называется конечным, если существует такое натуральное число n, называемое числом элементов множества X, что между элементами множества X и множеством натуральных чисел {1, 2, 3, 4,…, n-1, n} можно установить взаимооднозначное соответствие (иначе говоря, пересчитать).
Счетным называется множество, элементам которого можно поставить в соответствие ряд натуральных чисел.