1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.

Під висловленням розуміють будь-яке твердження, відносно якого можна з’ясувати: істинне воно, чи хибне. Висловлення позначають малими латинськими беквами. Приклад:

р: „Київ – столиця України”

q: „2х2=4”

s: „3>4”

Висловлення р та q істинні, висловлення s – хибне. Предікатом називають твердження, що містить вільні змінні і яке при наданні цим змінним конкретних значень перетворюється на висловлення. Предікати позначають великими латинськими буквами. Приклад: Нехай предікат P(x) є твердження „х²-3х+2=0”. При х, що дорівнює х=1, х=2 це висловлення істинне, а при всіх інших значення х – хибне. У математиці часто зустрічаються вирази „для всіх”, „для кожного”, „існує” і т.д. Для їх позначення існують спеціальні символи, які називають кванторами.

- квантор загальності (означає „для будь-якого”, „для всіх”, „для кожного”, „яке б не було”)

- квантор існуванні (означає „існує”, „знайдеться хоча б одне”)

Означення

Теоремою наиваєтья математичне твердження, істинність якого можна з’ясувати доведенням.

Формулювання будь-якої теореми складаєтья з 2 части: умови та висновку, що випливає з умови. Якщо позначити умову через P(x), а висновок через Q(x), то теорему можна записати у вигляді предіката: х>0: P(x) →Q(x)

Якщо данний предікат тотожній, то теорему називають вірною, якщо ні - невірною. Для того, щоб довести, що теорема невірна достатньо вказати хоча б одне значення х для якого не виконується слідування P(x) →Q(x).

У математиці є теореми з 3 різними умовами: необхідною, достатньою, необхідною і достатньою.

Позначення:

Необхідна умова – це умова, без виконання якої данне твердження евірне. Якщо слідування з P(x) →Q(x) є істиним, то Q(x). Називають необхідною умовою для P(x). Приклад:

„Щоб чотирикутник був квадратом, необхідно, щоб його діагоналі були взаємно перпндикулярні”. Дана умова є тільки необхідною, але не достатньою (якщо діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні, він необов’язково є квадратом).

Достатня умова – це умова, з якої випливає, що данне ьврдження істина, тобто якщо слідування P(x) →Q(x) є істина, то P(x) називається достатньою умовою для Q(x). Приклад:

„Якщо сторони чотирикутника рівні між собою, тоцей чотирикутник – паралелограм.” Ця умова тільки достатня, але не необхідна (якщо чотирикутник – паралелограм, його сторони не обов’язково рівні).

Означення

Якщо вірні теореми х>0: P(x) →Q(x) та х>0: Q(x) →P(x), то умову P(x) називають необхідною і достатньою для Q(x) і навпаки Q(x) називають необхідною і достатньою умовою для P(x).