- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
За озн.1 функція f(x) неперервна в точці а, якщо , але за теоремою для існування необхідно і достатньо щоб в т. х=а існування рівні односторонні границі. Тому можна дати четверте рівносильне означення неперервності ф-ції в точці. Озн. - функція - неперервна в точці а якщо:1) визначена в т. а і в деякому околі цієї точки.2)В точці а існують скінченні односторонні границі ,.3) Вони дорівнюють значенню ф-ції в точці а, якщо тільки в означенні ф-ція називається неперервною з ліва в т.а.
Якщо тільки ф-ція називається неперервною з права в т.а.
Озн. Функція - неперервна на інтервалі (а,в) якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.
Озн. Функція неперервна на відрізку якщо вона неперервна на інтервалі (а,в) і неперервна т . а справа і в т. В зліва
Озн. Якщо не виконується хочаб одне з трьох умов означення, то ф-ція називається розривною в т.а,
А саму точку а наз-ть точкою розрива ф-ції.
Озн.Розрив 1-го роду: Якщо існують скінченні односторонні границі і . Всі інші випадки розрива ф-ції називають розривом 2-го роду.
Озн. Якщо ф-ція має в точці а розрив першого роду, то різниця називають стрибком ф-ції в т. а.
Озн.Розрив першого роду в т-ці а називають усувним якщо стрибок ф-ції в цій точці=0.
Зауваження у випадку усувного розриву ф-ції, ф-цію можна до визначити певним чином, щоб була неперервною в т. розриву.
Схема означень.
27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
Теорема1. (Про операції над неперервними ф-ми)
Якщо ф-ції і мають границі що дорівнюють і, то за теремами про операції над границями функцій вказані в теоремі ф-ції мають границі, які відповідно дорівнюють,,
але ці величини дорівнюють Значенням відповідних. Т.ч. всі наведені у теоремі ф-ції неперервні в т.а за першим за першим означенням неперервності.
ТЕОРЕМА2.(неперервність складної ф-ції)
Якщо ф-ція неперервна в т.х=а, а ф-ція неперервна в т. , то складна ф-ція неперервна в т. х=а.
Доведення: за означенням
Оскільки функція неперервна в т. х=а, то для вже вказаного
Порівнюючи наведені означення неперервності(нерівності) бачимо що
це означає, що тобто складна ф-ція, неперервна в т.х=а.
28.Властивості ф-цій неперервних на відрізку.
Неперервні на відрізку ф-ції мають ряд важливих властивостей. Розглянемо деякі з них без доведення.
ТЕОРЕМА1(про знак ф-ції)
Нехай неперервна на і ,, тоді існує такий окіл точки с. У якому ф-ція зберігає свій знак. Нехай неперервна на відрізку і на кінцях цього відрізку приймає значення різних знаків, тоді знайдеться хоча б одна точка така що .
Геометричний зміст: Будь-яка неперервна крива при переході із нижньої півплощини у верхню або навпаки перетинає вісь ох.
ТЕОРЕМА3(про середнє значення ф-ції) Нехай неперервна на відрізку і на кінцях цього відрізку набуває різних значень, тобто , то для величини , що знах-ся між числами і знайдеться така , що . Зауваження: теорема 2 є окремим випадком теореми 3 якщо.
ТЕОРЕМА4(теорема Веєрштраса)
неперервна на відрізку ф-ція набуває свого найбільшого і найменшого значення. Тобто серед всіх значень ф-ції де існує і
Нагадаємо, що ф-ція неперервна у т.а щз деякої числової множини Е, якщо
Але треба мати на увазі, що число яке ми знаходимо перед заданням взагалі кажучи залежить від , а це і від точки а, тобто .
Якщо існує яке не залежить від , то ф-цію називають рівномірно неперервною на множині E. Дамо точне означення рівномірній неперервності. Ф-ція наз-ся рівномірно неперервною на числ. Множині E якщо , що залежить тільки від точок множини Ε таке що і задовольняють нерівності виконується нер-ть .
Зрозуміло, що якщо ф-ція рівномірно неперервна на мн-ні Ε, але обернене твердження взагалі кажучи не виконується. Наприклад .
ТЕОРЕМА5.(теорема Кантора)
Якщо ф-ція рівномірно неперервна на проміжку , то дана ф-ція неперервна на цьому проміжку.