1.Понятие множества Под множеством понимается (совокупность) некоторых объектов, которые называются элементами или точками данного множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Если множество В состоит из части элементов множества А и совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А. ВА

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение двух множеств А и В наз., множество С, состоящее из эл-тов принадлежащих хотябы одному из множеств А и В. С=ВА.

Пересечением двух множеств А и В наз., множество Д, состоящее из всех эл-тов одновременно принадлежащих множеству А и В Д=АВ

А={1,2,-4,5,7}

В={0,1,-4,3,9}

С={0,1,2,-4,3,5,7,9}

Д={1,-4}

Разностью множеств А и В наз., множество Е состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат мнжеству В. Е=А\В

2. Понятие функция Если каждому эл-ту х из множества Х ставится в соответствии вполне определенный эл-т у из множества У, то говорят что на множество Х задана функция у=(х), при этом х наз. независимой переменной или оргументом, у – зависимым элементом. Множество Х наз., областью определения функции, а У – областью значений функции.

Способы задания функции:

Аналитический;

Табличный;

Графический;

Словесный.

Основные св-ва функций:

Четность, нечетность. Четная (-х)=(х), нечетная (-х)=-(х).

Монотонность. Возрастающая(убывающая), если большему значению аргумента из промежутка Х соотв., большее(меньшее) значение функции.

Ограниченность. Ограничена если |(х)|<=M(М>0).

Переодичность. (Т+х)=(х) (Т0).

3.Элементарные функции, классификация, преобразование. Функция наз., явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной.

Функция наз., неявной, если она задана уравнением (х,у)=0, неразрешенным относительно зависимой переменной.

Пусть функция у=(u) есть функция от переменной u определенное на множестве U с областью значений У, а переменная u в свою очередь является функцией u=(х), опр., в областе х с областью значений U, тогда заданная га множестве Х функция у=[(х)] наз., сложной.

Элементарные функции делятся на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраической наз., функция в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся цело-рациональная(многочлен), дробно-рациональная(частное дробное, иррациональное).

Всякая неалгибраическая функция наз., трансцендентной.

Преобразование графиков.

Пусть задан график функции у=(х), тогда справедливо след., утверждение:

График функции у=(х+а) есть график у=(х) сдвинутый при а>0 – в лево, при а<0 – вправо на а единиц по оси ОХ.

График функции у=(х)+А, есть у=(х) сдвинутый по ОУ на А единиц при А<0 – вниз, при A>0 – вверх.

График функции у=m(х) есть растянутый при m>1 в m раз или сжатый соотв., вдоль ОУ. При m<0 – зеркальное отображение относительно ОХ.

График функции у=(kх) – сжатый при k>1 в k раз отн., ОХ k<0 – зеркальное отображение относительно ОУ.

4.Предел числовой последовательности Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соотв., вполне определенное число a_n , то говорят что задана числовая последовательность { a_n }

Другими словами числовая последовательность – это функция натурального аргумента a_n =(n).

Числа a_i наз., членами последовательности.

Число a_n – общий член последовательности.

Число А наз., пределом числовой последовательности { a_n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такой номер N(зависящий от Е), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство | a_n - A|<Е

П оследовательность, имеющая предел наз., сходящаяся, в противном случае расходящаяся.

Неравенство равносильно двойному неравенству А-Е< a_n<А+Е, соотв., попаданию членов последовательности в Е окрестность точки А.

И так число а есть предел числовой последовательности a_n , если для любого Е>0 найдется номер N начиная с которого все члены последовательности будут заключены в Е окрестномти точки А, какой бы узкой она не была.

5.Предел функции в бесконечности и в точке Число а наз., пределом функции у=(х) при х, если для любого сколь угодно малого Е>0 найдется такое число S(зависящее от Е), что для всех х таких что |х|>S верно неравенство

|(х)-А|<Е

Пусть функция у=(х) задана в некоторой окрестности точки х₀, кроме быть может самой точки х₀

Число А наз., пределом функции (х) при х х₀ , если для любого сколь угодно малого Е>0 найдется такое >0(зависящее от Е), что для всех х х₀ и удовлетворяющих условию |х- х₀|< выполняется неравенство |(х)-А|<Е. Если при стремлении х к х₀ переменная х принимает лишь значение меньшее х₀ или только лишь большее, и при этом функция (х) стремится к некоторому числу а, то говорят об односторонних пределах функции (х)

с лева

справа

Разумеется, если односторонние пределы существуют и равны между собой, то предел функции в этой точке равен числу А.

6. Бесконечно малые величины. Функция (х) наз. бесконечно малой величиной при хх₀ или при х, если ее предел =0.

lim (х)=0

хх₀()

Теорема. Если f f(х) имеет при хх₀ () предел = А, то ее можно представить в виде суммы того числа А и бесконечно малой (х) при хх₀ ().

f (х)= А + (х).

Верна и обратная теорема.

Теорема. Если f f(х) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой (х) при хх₀ (), то число А есть предел f f(х) при хх₀.

Свойства бесконечно малых величин:

алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. (б.м.в.)

произведения б.м.в. на ограниченную f есть б.м.в.

частное от деления б.м.в. на f, предел которой отличен от 0 (нуля), есть б.м.в.

7. Бесконечно большие величины. Функция f(х) наз. бесконечно большой величиной при хх₀, если для сколь угодно большого числа М>0 найдется такое >0 (зависящее от М), что для всех хх₀ и удовлетворяющих условию |х-х₀|< будет верно равенство | f (х)|>М.

Свойства б.б.в.:

произведения б.б.в. на f предел которой отличен от 0 есть б.б.в.

сумма б.б.в. и ограниченной f есть в.б.б.

частное от деления б.б.в. на f, имеющую предел в т.х0 есть в.б.б.

Теорема. Если f (х) есть б.м.в. при хх₀ (х) то f(х) = 1/(х) есть б.б.в. при хх₀ (). И наоборот, если (х) есть б.б.в., то f(х)= 1/(х) – б.м.в.

8. Основные теоремы о пределах. Признаки сущ. пределов. Пусть f(х) и (х) – f для которых сущ. пределы при хх₀ ().

lim f(х) = А lim(х) = В

хх₀ () хх₀ ()

Сформулируем основные теоремы о пределах:

f не может иметь более одного предела.

Предел алгебраической суммы конечного числа f равен такой же сумме пределов этих f.

lim [f(х)  (х)] = А  В

хх₀()

Предел произведения конечного числа f равен произведению этих f.

Предел частного двух f = частному пределов этих f.

Если предел при UU₀ lim f(U) = А, а lim(х) = U₀, то предел сложной f = lim[(х)]=А.

Если в некоторой окрестности т. х₀ f(х)<(х), то lim f(х)<lim (x).

Признаки существования пределов.

Теорема1. Если числовая посл. {а_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема2. Если в некоторой окрестности т. х₀ (или при х) f(х) заключена между 2-я f (х) и (х), имеющими одинаковый предел А при хх₀ (), то f(х) также имеет предел А.

9. Первый замечательный предел. Первым замеч. Пределом наз. lim sinx/х = 1

х0

Рассмотрим круг радиуса R, с центром в т.0. Пусть ОВ – подвижный радиус, образующий с осью 0х угол х, такой что 0<x<п/2.

Площадь треуг. АОВ < площади сектора АОВ, которая в свою очередь < S треуг. АОС. Т.к. S треуг. АОВ = ½ R²sin x; S сект. АОВ = ½ R²х ; S треуг. АОС = ½ ОА*АС = ½ R²tgx.

S треуг. АОВ< Sсект. АОВ < S АОС

½ R²sin x < ½ R²х < ½ R²tgx

1 < x/ sinx < 1/ cosx

cosx < sinx/x < 1

Т.к. f cosx и sinx/x четные, то полученные неравенства справедливы и для –п/2 < x < 0

lim cosx = 1

x 0

lim 1 = 1

x0 1  lim sinx/x  1

10. Второй замечательный предел. Рассмотрим {а_n}, где n-ный член равен а_n = (1 +1/n)ⁿ. Эта последовательность наз. возростающей.

а₁ = 2,0 а₂ = 2,25 а₃ = 2,37 а₄ = 2,441

Воспользуемся биномом Ньютона:

a_n = (1+1/n)ⁿ = 1+n*1/n + [n(n-1)/1*2]*1/n² + … +([n(n-1)…(n-(n-1))]/1*2…*n)*1/nⁿ

a_n = 2+1/1*2(1-1/n)+ … + (1/1*2*…*n)(1-1/n)(1-2/n)(1-(n-1)/n) +…

С ростом n увелич. как число положит. слагаемых, так и величина каждого слагаемого.

Аn < 2+1/1*2 + … + (1/1*2*…*n) +… < 2+ ½ + … + 1/2^n-1 ….

явл. геометр. прогрессией

а = ½

q = ½

S_n-1 = a(q^n-1 -1)/q-1 = ½({1/2}^n-1 -1)/(1/2 –1) = (1-(1/2)^n-1) <1

Т.к. S_n-1 < 1, то an < 2+1 < 3

а_n = (1+1/n)ⁿ < 2+1 = 3

По признаку сущ. f ограниченной и монотонной аn имеет предел.

Числом е (вторым замечательным пределом) наз. предел числ. Послед. ({}) при х0

е = lim(1+1/x)^x е 2,718281…

11.Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в т. х₀ , если она удовлетворяет следующему условию:

Она определена в т. х₀ ;

Имеет конечный предел;

Этот предел равен значению ф-ции в данной точке;

Дадим аргументу х приращение ,тогда ф-ция получит приращение:

Ф-ция у=f(x) называется непрерывной в т. х₀ ,если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции.

lim

Точка х₀ называется т.разрыва ф-ции f(x), если эта ф-ция в данноф точке не является непрерывной.

Различают т. разрыва:

1-го рода (когда существует конечные односторонние пределы ф-ции неравные друг другу).

2-го рода (когда хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует).

Св-ва ф-ций непрерывных в точке: Если ф-ции f(x) и (х) непрерывны в т. х ,то их сумма произведений и частных является ф-цией непрерывной в т. х₀

Если ф-ция у=f(x) непрерывна в т. х₀ и f(x)>0,то существует такая окрестность в т. ,в которой f(x)>0.

Если у=f(и)непрерывна в т. х₀ ,а ф-ция и= (х) в т. х₀ ,то сложная ф-ция непрерывна в т. х₀

Св-ва ф-ций непрерывных на отрезке:

Если ф-ция непрерывна на отрезке ,то она ограничена на этом отрезке.

Если ф-ция у= f(x) непрерывна отрезке ,то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значения.

Если ф-ция у=f(x)непрерывна на отрезке и значение её на концах отрезка f(a) и f(в) имеют противоположные знаки ,то внутри отрезка найдется т. такая ,что f( )=0.

12.Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.Пусть ф-ция y=f(x) определена на промежутке xвозьмем т.x єx, дадим значению x преращение ∆x ≠0 тогда ф-ция получит преращение ∆у=f(x+∆x)- f(x).

Определение. Производной ф-ции y=f(x) назыв. предел отношения приращения ф-ции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-вует)

y`=lim

Нахождение производной ф-ции наз. диферинцированием этой ф-ции. Если ф-ция в т.x имеет конечную производную, то ф-ция наз. диферинцированой в этой точке. Ф-ция диферованринцированая в каждой т. промежутке x наз. диферинцируемой на этом промежутке.

Геометрич, смысл производной:

Производная f `(x₀) есть угловой коофициент касательной проведенной к кривой y=f(x) в т. x₀ примит вид:

y-f(x₀)=f ` (x₀)(x-x₀)

Механический смысл производной:

-производ, пути по времени S`(t₀), есть скорость т. в момент времени t₀.

V(t₀)=S`(t₀)

Теорема :Если ф-ция y=f(x) диферинцируемая в т. x₀, то она в этой т. непрерывна.

Док-во. т. к. ф-ции y=f(x) диферинцируемая в т. x₀, то она имеет конечный предел:

Lim

Где f ` (x₀), постоянная величина, тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать, что:

=f `(x₀) +

где - бесконечно малая величина при ∆x→0

или ∆y = f `(x₀)∆x+ (∆x)⋅∆x

На основании свойств бесконечно малых величин можем утверждать что ∆y→0, при ∆x→0. Следовательно по определению ф-ция y =f(x) в т.x₀ явл. непрерывной.