- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
Теорема 1(граничний перехід)
Якщо limx→aѓ(x)=A і limx→ag(x)=B і у деякому виколотому - околі точки а для х виконується нерівність ѓ(x)≤g(x)[1], тоді A≤B.
Доведення: Припустимо супротивне. Нехай АВ. Візьмемо ε=(A-B)/2. Тоді
δ1= δ1(ε): xУδ1(a)A-ε<ѓ(x)<A+ε [2], δ2= δ2(ε): xУδ2(a)B-ε<ѓ(x)<B+ε [3]. Позначимо через δ*=min{ δ, δ1, δ2}. Тоді xУδ*(a) будуть одночасно виконуватися нерівності [1], [2], [3]. З нерівностей [2] і [3] одержимо ѓ(x)> A-ε =A- (A-B)/2=(2A-A+B)/2=(A+B)/2=B+(A-B)/2=B+ ε>g(x). Тобто xУδ*(a)ѓ(x)>g(x). Але для таких х повинна виконуватись і [1]. Це неможливо. Одержана суперечність доводить теорему.
Терема 2 (про границю проміжної функції)
Якщо і у [4]. Тоді .
Доведення: за умовою тереми [5], [6]. Позначимо через Тоді будуть одночасно виконуватися нерівності [4], [5], [6]. Тобто . Звідси, . Це означає, що .
18.Перша важлива границя
Теорема [1]
Доведення: розглянемо . Функція визначена , крім . . Таким чином, парна. Звідси випливає, що у випадку існування в точці О односторонньої границі, ці границі рівні. Тобто. Нам достатньо довести, що. Побудуємо у першій чверті координатної площини ХОУ коло одиничного радіуса:. Нехай величина кута дорівнює значенню аргументу функції (х). Зрозуміло, що. , , , [2]. Поділимо всі частини [2] на : ; . Помножимо на (-1): [3]. Додамо до всіх частин нерівності [3] 1: [4]. Розглянемо: . Запишемо [4]у вигляді: [5]. Оскільки, то за теоремою про границю проміжної функції, якщо перейти у [5] до х→+0 одержимо: (оскільки ліва і права частини нерівності →0). Звідси: . Теорема доведена.
19.Друга важлива границя
Теорема [1]
Доведення: якщо . Для доведення рівності [1] покажемо спочатку, що вона виконується для , а потім - .
1)
Покажемо, що. Позначимо цілу частину х через n. Тобто . Тоді . Звідси . Або . Оскільки , то [2]. Розглянемо окремо границі n→∞ лівої і правої частин нерівності [2].Маємо. Скористаємось теоремою про границю добутку. Одержимо: . Аналогічно
. З нерівності випливає, що коли n→∞: х→+∞. Перейдемо у нерівності [2] до границі при n→∞. Оскільки ліва і права частини цієї нерівності, як було показано, прямують до ℮, то за теоремою про границю проміжної функції одержимо: .
2)
Покажемо, що. Зробимо заміну . Знайдемо х: або . Розглянемо
. Теорема доведена.
20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
Означення: Функція називається нескінченно великою при х→а (має границю нескінченність), якщо вона визначена в деякому околі точки а, крім, можливо, самої точки а і , М – завгодно велике, можна знайти δ=δ(М)0 таке, що х: 0|х-а|δ виконується нерівність
Геометричний зміст: яким би великим не було число M>0 всі точки графіка функцій, крім, можливо, самої точки (а, f(а)) лежать поза смугою обмеженою прямими , якщо х взято з околу (а-δ, а+δ).
Означення: Функція називається нескінченно великою при х→∞ (має границю нескінченність), якщо вона визначена , де К0 деяке число і N=N(M) і таке, що N>K, що
Геометричний зміст: функція називається нескінченно великою, якщо завгодно великого знайдеться таке N>K, що як тільки х потрапляють в N- окіл нескінченно віддаленої точки значення функції будуть лежати поза смугою обмеженою прямими .
Означення: Функція називається нескінченно малою при х→а, якщо Тобто: >0
Геометричний зміст: яким би малим не було число >0 всі точки графіка функцій, крім, можливо, самої точки (а, f(а)) лежать у смузі обмеженій прямими , якщо значення х взято у околі (а-δ, а+δ).
Означення: Функція називається нескінченно малою при х→∞, якщо вона визначена , де К0 і для будь-якого завгодно малого >0 N=N()>К :
Геометричний зміст: функція при х→∞, якщо >0 знайдеться такий N- окіл нескінченно віддаленої точки для х з якого значення функції будуть лежати у смузі обмеженої прямими .
Зауваження: Аналогічно можна визначити нескінченно великі і нескінченно малі функції, якщо х→+∞ і х→-∞.