2.Множини
Кантер
стверджував, що множина-це багато дечого,
мислимого нами як єдине. Об’єкти,що
складають множину називають її елементами.
Множини позначають велкими буквами, а
їч елементи – малими. Вираз а
В
означає,
що елемент а
належить множині В.
Означення
Множина,
що не містить елементів, називається
порожньою. Її позначають символом
.
Означення
Множина
А
називається підмножиною множини В,
якщо кожен елемент множини А
є елементом множини В.
Тобто
х
А
В.
Це позначають А
В.
Зауваження
З
означення підмножини випливає, що для
кожной множини А
А.
Крім того будемо вважати, що
А
Множина натуральних чисел:
N = {1,2,3,...}
Множина цілих чисел:
Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}
Множина раціональних чисел:
Q
=
;
m
Z,
n
N
Множина
дійсних чисел: IR
= {
},
де
-
ціле, невід’ємне число;
- цифр десяткової системи числення
N
Z
Q
IR
Означення
Перетином
двох множин А
і В
називається множина С,
яка складається з елементів, що одночасно
належать і множині А
і множині В.
Перетин позначають символом
.
С=А
В
Властивості перетину:
1.А
А=А
2.
А
=
3.
А
В=В
А
4.(А
В)
С=А
(В
С)
5.Якщо
А
В,
А
В=А
Означення
Множини
А
і В
називають рівними, якщо А
В
і А
В.
Позначають А=В
Означення
Об’єднанням двох множин А і В називається множина С, що складається з елементів, які належать хоча б одній з данних множин.
Позначають:
С=А
В
Властивості перетину:
1.
А
А=А
2.А
=А
3.А
В=В
А
4.(А
В)
С=А
(В
С)
5.А
В,
то А
В=В
6.(А
В)
С=(А
С)
(В
С)
7.(А
В)
С=(А
С)
(В
С)
Доведення 7:
Покажемо,що
(А
В)
С
(А
С)
(В
С).
Нехай х
(А
В)
С,
тоді х
хоча б одній з множин А
В
або
С.
Розглянемо випадок, коли х
А
В.
Тоді х
А,
х
В
х
А
С,
х
В
С.
Звідси х
(А
С)
(В
С).
У випадку, коли х
С,
х
А
С,
х
В
С.
Звідси х
(А
С)
(В
С).
Покажемо
тепер, що (А
С)
(В
С)
(А
В)
С.
Нехай х
(А
С)
(В
С).
Звідси х
А
С
і х
В
С.
Якщо х
С,
то х
С
(А
В).
Якщо х
С,
то одночасно х
А,
х
В.
Тому х
А
В
(А
В)
С.
Означення
Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з елементів множини А, яких немає в множині В.
Позначення: С=А \ В
Використовуючи
позначенняалгебри множин
-
окіл точки а
можна записати у вигляді:
(а)={x
IR:
a
-
<x<a
+
}
Означення
Якщо
з
-
окілу точки а
виключити саму точку а,
то одержана множина називається виколотим
-
околом точки а.
Позначення:
(а)
=
(а)
\
{a}
3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
Означення
Змінною називається величина, яка набуває різних числових значень. Приклад: (Температура повітря; a <x <100)
Означення
Якщо
величина набуває тільки одне значення,
її називають сталою. Приклад: (Відношення
довжини кола до його діаметра для
будь-якого кола є стала величина, що
дорівнює
.
Знчення, що набуває змінна величина утворюють область зміни цієї величини. Ці значення мають властивість упорядкованості, тобто для будь-яких х’ і х’’ виконуєтьсяодне з трьох співвідношень:
1.х’< х’’
2.х’= х’’
3.х’> х’’
Крім того множина дійсних чисел має властивість щільності, яка полягає в тому, що між двома різними дійсними числіми знайдеться хоча б одне дійсне число.
Модуль величини.
Нагадаємо означення модуля:
Геометрично модуль лійсного числа дорівнює відстані від точки, що зображує данне число на числовій осі до початку координат.
Властивості:
1.
0
2.
0
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Доведення
6:
1.
2.