1.Функція багатьох змінних. Границя функції багатьох змінних.

Нехай задано множину D упорядочених пар чисел (х,у), якщо кожній парі (х,у)єDR² за певним законом відповідає єдине число z, то кажуть, що на множині D визначена функція двох змінних х та у і позначають z=f(x,y).

Приклад: за законом Ома електрорушійна сила Е, сила струму І та опір R замкненого електричного кола пов’язані співвідношенням Е=IR, тобто Е є функція двух змінних I та R Е=f(I,R).

Означення: Графіком функції z=f(x,y) у прямокутній системі координат Охуz називаються місце точок Р(х,у, f(x,y)) проекції яких на (x,y) належать множині DR², тобто це геометричне місце утворює у просторі R³ певну поверхню проекція якої на площину (х,у) є площина D.

Поняття функції можна узагальнити на випадок n незалежних змінних.

Означення: Нехай множина D складається з n малих упорядкованих наборів чисел (кожен набір містить n малих чисел), якщо кожній точці (х₁, х₂, ... , х_n) за певним законом відповідає єдине число U, то кажуть, що на множині D задана функція n змінних х₁, х₂, ... , х_n її позначають U=f (х₁, х₂, ... , х_n).

Зауваження: 1) у випадку n3 графік функції n змінних побудувати неможливо.

2. Надалі розглядатимемо лише випадок функції 2 змінних, тому, що результати для функції 2 змінних можна узагальнити за аналогією на випадок більшого числа змінних.

Означення: Нехай т. М₀(х₀, у₀)R² множину всіх точок М(x,y)R² , координати яких задовольняють нерівність ( М₀,М)=((х-х₀)²+(у-у₀)²)^1/2 називають -околом точки М₀.

Інакше кажучи, -окіл т. М₀-є множина точок круга з центром в т. М₀ радіуса  без його границі. У наведеному означенні ( М₀,М) – відстань від точки М до точки М₀.

Означення: Позначимо послідовність точок М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂), ... , М_n(х_n, y_n), … через М_n називається збіжною до т. М₀(х₀, у₀) якщо n виконується нерівність ( М_n,М₀) т. М₀ називають границею послідовності М_n і пишуть lim М_n= М₀ або М_nМ₀ при n.

Означення: Нехай функція z=f(x,y) задано у деякій множині D і нехай т. М₀(х₀, у₀)D або М₀(х₀, у₀)D, але має таку властивість у околі т. М₀ міститься хоча б 1 точка множини D відмінна від т. М₀. Число А називається границею функції z=f(x,y) в т. М₀(х₀, у₀), якщо для  збіжної до т. М₀ послідовності точок М₁, М₂, ... , М_n, …(де М_nD, М_n М₀) послідовність відповідних значень функції f(М_nf(х_n, y_n) збігається до числа А.

Наведене означення границі функції називається означенням границі за Гейне або на “мові послідовностей”.

Дамо еквівалентне означення границі функції за Коші або на “мові -”.

Означення: Число А називається границею функції z=f(М)=f(x,y) у т. М₀(х₀, у₀), якщо для  знайдеться число , що  , що точок М(х, у)D які задовольняють нерівність 0( М₀,М) виконується нерівність f(М)-А

Границю функції позначають або .

Користуючись означенням границі ф-ї 2 змінних можна перенести основні теореми для ф-ї 1 змінної на ф-ї 2 змінних.

Приклад: Нехай z=f(x,y), z=g(x,y) визначені на одній і тій самій множині D і мають в точці М₀D границі В і С, тоді ф-ї f(x,y)g(x,y), f(x,y)g(x,y), f(x,y)/g(x,y) мають в точці М₀ границі, які відповідно дорівнюють ВС, ВС, В/С (С0).

Означення: Функція z=f(x,y) називається нескінченно малою функцією в точці М₀ (або при ММ₀, якщо .

Зауваження: якщо ф-я z=f(М)=f(x,y) має в точці М₀ границю А, то f(М)-А є нескінченно мала у точці М₀.