- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
Теорема 1 (про граничний перехід)
Якщо задані 2 послідовності {} і {} і . Якщо , , то
Доведення:
Припустимо супротивне: нехай . Розглянемо таке, що . За означенням границі для вказаної
або a -<<a + (1) також
,
або b -<<b + (2)
. Тоді одночасно виконуються нерівності (1) і (2)
Це суперечить тому, що за умовою теореми , . Одержана суперечність доводить теорему.
Теорема 2 (про границю проміжної послідовності)
Нехай задані 3 послідовності {}, {}, {} і .Якщо , то .
Доведення:
За означенням границі (1). (2).
Позначемо через . Тоді одночасно виконуються нерівності (1) і (2). Тобто тобто . За означенням
7. Нескінченно малі послідовності
Озн. Називається нескінченно малою, якщо вона збігається до 0.
Теорема 1:
Сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей, є нескінченно мала послідовність
Доведення
Розглянемо суму двох нескінченно малих послідовностей.
-нескінченно малі послідовності
тоді
Позначимо
Тоді одночасно виконується нерівності (1) і (2)
Використовуючи властивість модуля для , маємо
Тоді
Це означає, що послідовність нескінченно мала
Теорема 2:
Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовнічть є нескінченно мала послідовність.
Доведення
Нехай -обмежена, тоді
Якщо нескінченно мала, то -де довільне число.
Використовуючи властивість модуля,
Тобто:
Це означає, що нескінченно мала послідовність
Наслідок 1:
Добуток сталої на нескінченно малу послідовність, є нескінченно мала послідовність
Наслідок 2:
Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність
Справді, якщо одну з цих послідовностей розглядати, як обмежену оскількивона має границю, то вик умови теореми 2.
Наслідок 3:
Добуток нескінченно малої послідовності на послідовність, що має границю є нескінченно мала послідовність
Теорема 3 (необхідна і достатня умова існування границі послідовності):
Для того щоб мала границю “а” необхідно і достатньо, щоб існувала нескінченно мала послідовність така, що (3)
Доведення
Необхідність
Нехай , тоді
тобто (- нескінченно мала послідовність)
Достатність
Нехай виконується рівність (3), де- нескінченно мала послідовніст, тоді за означенням
8. Нескінченно великі послідовності
Озн. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого завгодно великого числа M>0 натуральне число N (що залежить від M), виконується нерівність
Нескінченно велику послідовність позначають
, або .
Якщо , то пишуть
Якщо , то пишуть
Геометричний зміст нескінченно великої послідовності полягає в тому, що послідовність є нескінченновеликою, якщо у довілбному М-околі точки О інтервалу (-М;М) знаходится скінченна кількість послідовностеі, а поза ним нескінченна кількість її членів.
Зрозуміло, що нескінченно велика послідовність є не обмеженою.
Але обернене не виконується , тобто існують послідовності які не обмежені, але не є нескінченно великими.
Вказана послідовність є необмеженою, оскільки такі члени,що для будя-якого числа виконується , але не можна знайти такого N ,, тому вказана послідовність не є нескінченно великою.
=нескінченно велика послідовність
Теорема 1 (про зв'язок нескінченно малої та нескінченно великої)
Якщо , де () – нескінченно велика, то послідовність , де - нескінченно мала
Доведення
Візьмемо оскільки послідовність -нескінченно велика
Тобто
Теорема доведена
Теорема 2
Якщо послідовність , (де ) нескінченно мала , то послідовність , де - нескінченно велика.
Доведення
Доведення аналогічне попередній теоремі.