- •1.Основні поняття матем. Логіки. Числові проміжки.
- •2.Множини
- •3.Змінні і сталі величини. Модуль величини.
- •4. Послідовність. Границя послідовності. Границя змінної.
- •5. Єдність границі послідовності. Обмежена і необмежена послідовності.
- •6. Граничниц перехід у нерівностях. Теор. Про границю проміжної послід.
- •7. Нескінченно малі послідовності
- •Необхідність
- •8. Нескінченно великі послідовності
- •9.Арефметичні операції над границями послідовностей
- •10. Монотонні послідовності
- •11.Число е
- •12.Границя за Коші. Геом. Зміст
- •13.Границя функції за Гейне
- •Достатність
- •14.Односторонні границі функції
- •Необхідність
- •15.Арефметичні операції над границями функцій
- •16.Властивість функції, що мають границю
- •17.Граничний перехід у нерівностях для функцій Теорема про границю проміжної функції
- •18.Перша важлива границя
- •19.Друга важлива границя
- •20.Нескінченно великі і нескінченно малі функції
- •21.Основні властивості нескінченно малих функцій
- •Теорема 3
- •23.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •24.Теореми про еквівалентні нескінченно малі функції
- •25.Неперервність функції в точці
- •26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції
- •27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.
- •29.Деякі важливі границі:
- •31.Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної.
- •33.Похідні суми, добутку і частки
11.Число е
Нагадаємо формулу бінома Ньютона
Розглянемо і покажемо, що вона має границю для цього треба довести, що вказана послідовність є зростаючею і обмеженою зверху.
-
Доведемо, що послідовність зростаюча:
За формулою бінома Ньютона (а=1; в=1/n) маємо
(1)
Замінивши n на n+1 одержимо
(2)
Бачимо, що в рывнянны (2) на один член більше ніж в (1). Цей член як і всі інші є додатними крім того кожний член в (2) більше відповідного члена в(1) тому, що від’ємники у (2) менше відповідних від’ємників (1), отже
Тобто - зростаюча
-
-
Покажемо, що данна послідовність обмежена зверху
Отже
Вказана послідовність обмежена, тоді існує границя за лемою.
12.Границя за Коші. Геом. Зміст
Нагадаємо означення функції:
Y називається функцією x, якщо
1. вказано, які значення х є припустимими, тобто визначена область визначення функції
2. кожному х з області виначення функції, за деяким правилом відповідає єдине значення у
Існує декілька способів задання функції:
Аналітичний
Графічний
Словесний
Означення
Число А називається границею функції при х->а, якщо ця функція визначена в деякому околі точки а, крім можливо самої точки а, для будь-якого завгодно малого , можно знайти , таке що для всіх х задовільнює нерівності виконується нерівність
Границю функції в точці позначають символом
Скорочено можна записати так
Або
Зауваження
1. Наведене означення називається означенням функції за Коші, або на мові “”
-
Звернемо особливу увагу на те що у нерівності , це означає, що в самій точці а функція може бути і не визначенна, або в цій точці може не виконуватись нерівності , як і у так і випадках границя функції може існувати, а може і ні.
Розглянемо геометричний зміст границі функції
Він полягає в тому, що число А є границею функції в точці а, що для точки А на інтервалі знайдеться такий виколотий - окіл точки а, що для всіх х, якого значення функції потрапляють в - окіл точки .
Означення
Число А називається границею функції при х, що прямує до , якщо ця функція визначена при всіх х, що задані нерівностью . При деякому і для будь-якого завгодно малого існує таке число , таке що для всіх виконується нерівність
Цю границю позначають так
Геометричний зміст границі функції
-М М 0 Х
Для значення функції потрапляють в -окіл точки А у цьому випадку А є границею функції при
Зауваження
Якщо розглядати лише додатні або від’мні значення х, то можна говорити що границю функції, якщо , або .
13.Границя функції за Гейне
Означення
Число а називається границею функції при , якщо функція визначена у де-якому околі точки а, крім самої точки а і для будь-якої послідовності значень аргументу, де () послідовність відповідних значень функцій, має границю А
Зауваження
Наведене означення називається означенням функції за Гейне, або означенням границі функції на “мові послідовностеі”
Теорема
Для того, щоб існувала границя функції в точці за Коші необхідно і достатньо, щоб вона існувала за Гейне
Доведення
Необхідність
Нехай існує границя за Коші. Покажемо, що для будь-якої послідовності значень аргумента , де () послідовність відповідних значень функції має границю А за умовою (1).
Тоді відповідно заданому
Тобто за означенням (2)
А це означає, що