Тема 3. Производная и дифференциал. Исследование функций

1. Задачи, приводящие к понятию производной. Геометрический и механический смысл производной. Непрерывность и дифференцируемость функции. Основные правила нахождения производной. Дифференцирование сложной функции.

2. Дифференциал функции, его геометрический смысл, инвариантность его формы. Производные высших порядков.

3. Теоремы Ролля и Лагранжа, монотонность функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции.

4. Выпуклость вверх и вниз функции, точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования функции и построение ее графика.

5. Экономический смысл производной. Задача о производительности труда. Эластичность функции, свойства эластичности.

6. Предельный анализ в экономике (предельный доход, предельные издержки).

Тема 4. Неопределенный интеграл

1. Первообразная функция и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов.

2. Непосредственное интегрирование. Интегрирование подстановкой и по частям.

3. Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

4. Применение неопределенных интегралов к нахождению суммарных затрат по предельным издержкам, суммарного дохода по предельному.

Тема 5. Определенный интеграл

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральной суммы, теорема о его существовании. Связь между определенным и неопределенным интегралами, формула Ньютона - Лейбница.

2. Замена переменной и интегрирование по частям.

3. Несобственные интегралы, их виды.

Тема 6. Приложения определенного интеграла

1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах. Вычисление длины дуги кривой. Применение определенного интеграла к вычислению объема тела вращения.

2. Экономический смысл определенного интеграла. Задачи нахождения излишков потребителя и производителя, основных фондов.

Рассмотрим примеры:

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение первообразной функции.

2. Сформулируйте теорему о двух первообразных.

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

5. Запишите формулу интегрирования методом замены переменной.

6. Выведите формулу интегрирования по частям.

Тема 7. Определенный интеграл. Несобственный интеграл

Литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник / Под ред. проф.

Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 1997.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982. Гл. 12. § 1-5.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., 1985, Гл. 11. § 1-7.

Связь между определенным и неопределенным интегралом дает формула Ньютона–Лейбница:

,

где – первообразная подинтегральной функции f(x),

, – значения первообразной, вычисленной в точке b – верхнего предела интегрирования и в точке а – нижнего предела интегрирования. Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти первообразную для подинтегральной функции f(x), а затем подставить в нее значения верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Если при вычислении определенного интеграла первообразная находится путем непосредственного интегрирования, то пределы интегрирования не изменяются. Рассмотрим примеры:

Если при вычислении определенного интеграла первообразная находится методом замены переменной, то вместе с изменением переменной интеграции необходимо изменить и пределы интегрирования, используя формулу: