Вопросы для самопроверки

1. Как вводится прямоугольная декартова система координат на плоскости?

Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками.

2. Запишите формулы для вычисления координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

3. Что называется угловым коэффициентом прямой?

4. Запишите уравнения прямой с угловым коэффициентом.

5. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, и общее уравнение прямой.

6. Запишите формулу для определения тангенса угла между двумя прямыми.

7. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

8. Как найти точку пересечения двух прямых, заданных их общими уравнениями?

Тема 2. Введение в математический анализ (предел функции, непрерывность)

Литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник / Под ред. проф.

Н.Ш. Крамера. М.: ЮНИТИ, 1997. Гл. 5. § 1-7. Гл. 6. § 1-8.

2. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989. Гл. 6. § 1-4, 9. Гл. 7. §§ 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13. Гл.8. § 1-6.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., 1985. Гл. 2. §§ 1-11.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990. Гл. 4. § 1-5, 7-9.

Задачи 11-20. Найти пределы функций:

1)

Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида .Чтобы раскрыть неопределенность вида отношения двух бесконечно малых, необходимо предварительно разложить числитель и знаменатель на линейные множители , где х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена.

Тогда, сокращая числитель и знаменатель на общий множитель, будем иметь:

Следует заметить, что х только стремится к своему предельному значению -2, но не совпадает с ним. Следовательно, множитель, на который сокращается дробь , отличен от нуля.

2) . При х получаем неопределенность вида

Чтобы найти предел дробной рациональной функции, необходимо разделить числитель и знаменатель дроби почленно на старший член числителя или знаменателя и применить основные теоремы о пределах:

3) . Подстановка предельного значения х=0 приводит к неопределенности вида Чтобы раскрыть эту неопределенность, домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю , и вынесем общий множитель в знаменателе:

4) .

При подстановке в числитель и знаменатель выражения предельного значения получим неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность следующим образом. Выделим в числителе выражение такое же, как в знаменателе, и почленно разделим числитель на знаменатель:

.

Используя следствие 2-го замечательного предела и свойства степеней, распишем предел следующим образом:

5)

Используем свойства логарифмов и получим

6) .

Используем тригонометрическую формулу . Тогда .

7) .

.

Задачи 21-30. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и ее пределы в этой точке слева и справа. Сделать чертеж.

а)

При различных значениях х функция задана различными формулами. В каждом из промежутков (– ; 0) , (0 ; 4) и (4 ; + ) она непрерывна как элементарная, следовательно, разрыв может быть только в граничных точках промежутков, т.е. в точках х = 0 и х = 4 .

Вычислим односторонние пределы функции в этих точках:

Левосторонний предел конечен, но не равен конечному правостороннему пределу, следовательно, в точке х=0 функция терпит разрыв 1-го рода. Причем в точке х=0 она непрерывна справа, так как

Cледовательно, в точке х = 4 функция непрерывна. Построим график функции (рис. 2).

Рис. 2

б) .

Необходимо исследовать поведение функции в точке х=1, так как в ней функция не определена. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке:

(здесь положили и ).

(положили ).

Таким образом, левосторонний предел функции равен 0 и конечен, а правосторонний предел функции равен бесконечности. Следовательно, точка х = 1 есть точка разрыва 2-го рода.

Кроме того, найдем предел функции при х   .

Тогда прямая является горизонтальной асимптотой.

Рис. 3

Найдем значения функции в нескольких точках:

Построим график функции (рис.3).