Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции, области определения функции.

2. Укажите способы задания функции, особенности каждого из этих способов.

3. Сформулируйте определение предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

4. Дайте определение левостороннего и правостороннего пределов функции.

5. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.

6. Докажите первый замечательный предел.

7. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

8. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на интервале.

9. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на интервале, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

10. Что называется точкой разрыва функции? Приведите примеры.

11. Дайте определение точки разрыва 1-го рода и точки разрыва 2-го рода. Приведите примеры.

Тема 3. Производная

Литература

1. Берман Т.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1985. Гл. 7. § 3, 4, 5.

2. Данко П.Е., Попов А.Т. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., 1980. Гл. 7. §1.

3. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989. Гл. 10. § 4, 5, 7, 9, 10, 11.

Краткие теоретические сведения.

Основные правила дифференцирования.

Пусть даны функции .

Если дана сложная функция где то .

Основные формулы дифференцирования

Задачи 31-40. Найти производные заданных функций:

Решения:

.

Вводим сначала дробные и отрицательные показатели, затем дифференцируем, применяя формулы 1.3, 1.2 и 1.1 и формулу 2.1.

Дифференцируем, применяя формулы производной сложной функции и 2.1 и 2.6.

Дифференцируем как частное по формуле 1.5 правил дифференцирования и применяем формулы 1.2, 1.1 и 2.1.

Применяем сначала формулу 1.3, а для второго слагаемого формулу 1.4. Затем используем формулы 2.2, 2.8, 2.1 и 2.9.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение производной.

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

3. В чем заключается экономический смысл производной?

4. Чему равна производная от постоянной величины? От аргумента?

5. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

8. Что называется дифференциалом функции?

Тема 4. Применение производной к исследованию функций

Литература

1. Берман Т.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1985. Гл. 4. § 3, 4, 6, 7.

2. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989. Гл. 11. § 7, 8, 10.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990. Гл. 6. § 4.

Краткие теоретические сведения. Общий план исследования функций

1. Найти область определения функции.

2. Установить четность, нечетность, периодичность функции. Сделать вывод о симметричности ее графика.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти критические точки, интервалы возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума функции.

5. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости вверх и вниз.

6. Найти асимптоты.

7. Используя полученные результаты исследования, построить график функции.

Задачи 41-50. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

.

Решение:

1) Область определения функции .

2) По определению функция является четной, если , и нечетной, если . График четной функции симметричен относительно оси OY, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.