- •Содержание
- •Введение
- •Программа курса высшей математики
- •Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 2. Введение в математический анализ. Предел и непрерывность функций
- •Тема 3. Производная и дифференциал. Исследование функций
- •Тема 4. Неопределенный интеграл
- •Тема 5. Определенный интеграл
- •Тема 6. Приложения определенного интеграла
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 7. Определенный интеграл. Несобственный интеграл
- •Рассмотрим решение примеров.
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 8. Геометрические и экономические приложения определенного интеграла
- •Экономический смысл интеграла
- •Литература
- •Указания к выполнению контрольной работы 1
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 2. Введение в математический анализ (предел функции, непрерывность)
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 3. Производная
- •Краткие теоретические сведения.
- •Основные формулы дифференцирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 4. Применение производной к исследованию функций
- •Краткие теоретические сведения. Общий план исследования функций
- •Для исследуемой функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 5. Предельный анализ в экономике
- •Предельный анализ в экономике
- •Предельный доход
- •Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •1. Метод непосредственного интегрирования
- •2. Метод замены переменной ( метод подстановки )
- •3. Интегрирование по частям
- •Задания к контрольной работе 1
- •Задания к контрольной работе 2
Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл
Литература
-
Высшая математика для экономистов. Учебник / Под. ред. проф.
Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 1997, гл. 10 § 1- 4.
-
Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И.. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982. Гл. 11. § 1- 6.
-
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., 1985. Гл. 10. § 1- 4, 6.
В дифференциальном исчислении одной из основных задач является нахождение производной заданной функции. В интегральном исчислении ставится задача обратная: для заданной функции найти такую функцию F(x), производная которой равнялась бы заданной, т.е. Тогда функция F(x) называется первообразной функции f(x).
Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом .
Таким образом, нахождение первообразной заданной функции является математической операцией, обратной дифференцированию функции.
Согласно этому утверждению, можно сформулировать основные правила интегрирования и записать таблицу неопределенных интегралов.
Правила интегрирования
-
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: .
-
Неопределенный интеграл алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:
.
Таблица неопределенных интегралов
Различные методы интегрирования, которые рассмотрены далее, будут состоять в том, чтобы заданный интеграл с помощью некоторых приемов свести к табличным интегралам.
1. Метод непосредственного интегрирования
В основе этого метода лежит применение правил интегрирования и таблица интегралов.
Если подинтегральная функция представляет собой произведение или частное различных степеней х, то, выполняя необходимые действия, ее представляют как степенную функцию вида .
Например:
Проверим полученный результат, используя свойство неопределенного интеграла:
что равно подинтегральной функции.
Некоторые интегралы могут быть сведены к табличным после выполнения некоторых тождественных преобразований.
Например:
2. Метод замены переменной ( метод подстановки )
Метод подстановки является одним из наиболее мощных методов интегрирования. В основе метода лежит следующая формула: если , то интеграл
Убедиться в справедливости этой формулы можно, найдя производные от обеих частей равенства по переменной х и убедившись в равенстве этих производных.
Рассмотрим применение этой формулы на примерах:
Проверим полученный результат, используя свойство неопределенного интеграла:
что равно подинтегральной функции.
Проверим полученный результат:
что равно подинтегральной функции.
Проверим результат дифференцированием:
что равно подинтегральной функции.
3. Интегрирование по частям
Для вывода формулы интегрирования по частям будем исходить из формулы производной произведения двух функций и : Выразим и проинтегрируем полученное равенство почленно:
Поскольку интеграл , то получим выражение , которое называется формулой интегрирования по частям.
Практическая ценность формулы интегрирования по частям состоит в том, что она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла , который оказывается табличным или легко сводится к табличному.