Для исследуемой функции

следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодична.

3) Найдем точки пересечения функции с осью OX, т.е. значит график функции проходит через точку (1; 0). Точек пересечения графика с осью OY нет, т.к. точка с абсциссой .

4) .

в точке , которая является критической; не определена в точке , но эта точка .

Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной в каждом полученном интервале.

Итак, функция убывает, если ,функция возрастает, если .

При переходе через критическую точку производная меняет знак с “–”на “+”, следовательно, – точка минимума, – минимальное значение функции.

5) .

не определена при , но это значение х не может быть абсциссой точки перегиба, т.к. . Значит точек перегиба график этой функции не имеет.

Во всей области определения поэтому ее график всюду обращен выпуклостью вниз.

6) Данная функция не определена при .

Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты.

Будем искать наклонную асимптоту , где

.

Найдем k и b:

Итак, – уравнение наклонной асимптоты.

Вычислим

Значит, горизонтальных асимптот нет.

7 ) Используя полученные результаты, построим график функции:

Рис. 4

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте признаки убывания и возрастания функции на интервале.

2. Дайте определения максимума и минимума функции.

3. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

4. Какие точки называются критическими и как они находятся?

5. Сформулируйте достаточный признак существования экстремума.

6. Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью первой производной.

7. Дайте определение выпуклости вверх и вниз кривой на интервале.

8. Что называется точкой перегиба графика функции? Как находятся такие точки?

9. Сформулируйте признаки выпуклости вверх и вниз кривой на интервале.

10. Сформулируйте признак существования точки перегиба.

Тема 5. Предельный анализ в экономике

Литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник / Под ред. проф.

Н.Ш. Крамера. М., 1997. гл. 7. § 7.6. Гл. 8. § 8.10.

Предельный анализ в экономике

В экономике и коммерции широко используются средние величины: средняя стоимость продукции, средняя производительность труда, средний доход, средний объем продаж и т. д. При планировании возникает задача: на какую величину изменится результат, если изменять затраты на производство. В таких задачах нужно найти предел отношения приращений рассматриваемых величин, т.е. предельный эффект.

В экономике термин “предельный” характеризует не сами величины, а эффект их изменения.

Предельный доход

Суммарный доход R определяется как произведение цены товара Р на его количество Q, т.е.. Связь между ценой и количеством проданного товара задается кривой спроса и при линейной модели , где угловой коэффициент и . Такая зависимость характерна для монополии, когда несколько фирм полностью контролируют предложение товара и цены на него. В этом случае, если монополист увеличивает цены, то спрос падает.

Для такой модели .

Предельный доход определяется как производная от суммарного дохода R по переменной Q:

,

и его экономический смысл состоит в следующем: предельный доход приближенно равен изменению суммарного дохода при изменении количества проданного товара на единицу.

Средний доход Rср..

Rср.=Р показывает, что средний доход совпадает с ценой. Графики приведены на рисунке 6.

Рассмотрим модель конкурентного рынка. Эта модель предполагает, что большое число независимых фирм производят однородную продукцию, и нет препятствий для “вхождения в рынок”. При этом возможна продажа только по преобладающей рыночной цене b и кривая спроса будет иметь вид Р=b. Тогда суммарный доход , предельный доход , средний доход Rср. совпадают (рис. 7).

Рассмотрим производственную функцию, связывающую переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Рассмотрим простую модель, когда количество продукции Q зависит от приложенного труда L (для фирмы это численность персонала). В краткосрочном режиме такое допущение приемлемо и тогда .

Средняя производительность труда будет равна .

Предельная производительность труда и приближенно равна объему выпускаемой продукции при изменении численности персонала на единицу.

Пример:

Зададим значения персонала L и найдем Q_L

L	1	9	100	2500	22500
QL	146	46	11	-1	-3

Предельная производительность труда уменьшается с ростом численности персонала и, начиная с некоторого значения, становится отрицательной, тогда объем продукции будет падать при увеличении персонала (слишком много исполнителей, они только мешают друг другу).

Предельные издержки производства

Рассмотрим функцию издержек производства C=C(Q). В типичном случае издержки фирмы вначале растут быстрее, чем доход. С увеличением объема производства скорость роста издержек уменьшается, они сравниваются с доходом, и фирма начинает получать прибыль. При дальнейшем увеличении объема производства издержки снова начинают расти быстрее дохода, поскольку исчерпаны эффективные ресурсы, нужны дополнительные производственные площади, сырье, квалифицированная рабочая сила.

Пусть издержки производства заданы функцией C=C(Q) и количество выпускаемой продукции возросло на Q, при этом издержки производства возросли на С.

Отношение есть средние издержки производства на единицу продукции.

Перейдем к пределу при . есть предельные издержки производства, которые характеризуют дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства и определяются не постоянными производственными затратами (оборудование, произв. площади, технология), а лишь дополнительными (сырье, топливо и т.п.).

Эластичность экономических функций

Рассмотрим функцию , описывающую какую-либо экономическую зависимость. Изменение независимой переменной х приводит к изменению переменной у. Одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой служит производная , которая характеризует скорость изменения функции с изменением аргумента х. Однако в экономике этот показатель неудобен тем, что зависит от выбора единиц измерения. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных изменений переменных х и у, а их относительных или процентных изменений.

Опр.1. Эластичностью функции называется предел отношения относительных изменений переменных у и х и обозначается

.

Определенная таким образом эластичность называется предельной, или точечной.

Так как и , то эластичность можно представить в форме “логарифмической производной”

Дискретный случай

При определении эластичности по дискретному набору данных определение эластичности не столь однозначно, поскольку в относительном изменении неясно, что брать в качестве х: начальное значение х₁, конечное значение х₂ или их среднее

В зависимости от этого выбора различают следующие случаи:

1) конечную (процентную) эластичность:

;

2) среднюю (дуговую) эластичность:

;

3) логарифмическую эластичность:

.

При небольших относительных изменениях х и у все эти выражения мало отличаются друг от друга.