Литература

1. Берман Т.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1985.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник / Под ред. проф.

Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 1997.

3. Данко П.Е., Попов А.Т. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., 1980.

4. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982.

5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., 1986.

6. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М., 1997.

7. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989.

8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., 1985.

9. Шипачев В.С. Высшая математика М., 1990.

Указания к выполнению контрольной работы 1

Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости

Литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник / Под ред. проф.

Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 1997. Гл. 4. § 1-3.

2. Карасев А.И. и др. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982. Гл. 3. § 1-7.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., 1986. Гл. 1.

§ 1-6.

Примеры решения задач

Задачи 1-10. Даны вершины А(х₁; у₁), В (х₂; у₂), С (х₃; у₃) треугольника АВС. Найти: 1) уравнение стороны АВ, 2) длину стороны АВ, 3) уравнение высоты СD, 4) длину высоты СD, 5) площадь треугольника, 6) уравнение медианы СМ, 7) точку пересечения высот, 8) внутренний угол АВС.

Пусть А (–2; 3), В ( 1; 12) , С (11; 6) .

Решение:

1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А (х₁ , у₁) и

В (х₂ ; у₂), имеет вид:

. (1)

Для нахождения уравнения стороны АВ подставим в (1) координаты точек А и В:

; ;

; ;

; – получено общее уравнение

прямой АВ.

2. Длину стороны АВ найдем по формуле расстояния между двумя точками: АВ. (2)

Подставим в (2) координаты точек

===ед.

3. Высота CD перпендикулярна стороне AB (CD  AB), и поэтому их угловые коэффициенты K_CD и K_AB удовлетворяют условию

.

Из общего уравнения прямой АВ – – найдем ее угловой коэффициент: , следовательно, К_АВ=3. Тогда угловой коэффициент высоты CD будет равен К_СD =.

Напишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей данный угловой коэффициент:

. (3).

Подставляя в (3) координаты точки С (11; 6) и угловой коэффициент

К_CD =, получим уравнение высоты СD:

– общее уравнение CD.

4. Чтобы найти длину высоты СD, найдем точку ее пересечения со стороной АВ. Для этого решим совместно общие уравнения стороны АВ и высоты CD:

Решим систему линейных уравнений методом исключений. Для этого умножим второе уравнение на 3 и вычтем его из первого:

Тогда

Итак, точка D имеет координаты D(0,2; 9,6). Длину высоты CD найдем как расстояние между точками по формуле (2):

== ед.

5. Площадь треугольника найдем по формуле:

ед².

6. Для нахождения уравнения медианы CM найдем координаты точки М. Точка М делит сторону АВ пополам, тогда по формулам деления отрезка пополам

координаты точки М будут равны ,

.

Уравнение медианы СD получим, подставив координаты точек C(11; 6) и

М(-0,5; 7,5) в формулу (1):

– общее уравнение медианы СМ.

7. Для нахождения точки пересечения высот треугольника АВС найдем уравнение высоты AF тем же способом, что уравнение высоты CD.

Уравнение стороны ВС найдем по формуле (1): В(1; 12),

С(11; 6), тогда

– общее уравнение стороны ВС.

Найдем угловой коэффициент ВС: следовательно, . Угловой коэффициент AF: . Подставляя в (3) координаты точки А(-2; 3) и

K_AF =, получим уравнение высоты AF;

– общее уравнение высоты AF.

Решая совместно уравнения высот CD и AF, найдем точку пересечения высот:

,

Итак, точка Е пересечения высот имеет координаты .

Рис. 1

8. Для нахождения внутреннего угла АВС используем формулу:

где К₂ - угловой коэффициент прямой ВС и К₁ – угловой коэффициент прямой АВ:

Тогда .

По таблицам тригонометрических функций находим =arctg 0,857=61⁰ 42.