192

Раздел 2. Дифференциальное исчисление 138

ЛЕКЦИЯ 2.1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 138

2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств 138

2.1.2. Множество действительных чисел 142

ЛЕКЦИЯ 2.2. ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ 145

2.2.1. Переменная величина 145

2.2.2. Функция одной и нескольких переменных 145

2.2.3. Способы задания функции 148

2.2.4. Основные свойства функции 150

2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики 154

ЛЕКЦИЯ 2.3. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ 161

2.3.1. Предел переменной величины. 161

2.3.2. Предел функции 162

2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства 166

ЛЕКЦИЯ 2.4. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ 172

2.4.1. Теоремы о пределах 172

2.4.2. Признаки существования пределов 177

ЛЕКЦИЯ 2.5. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ТЕОРЕМЫ О НИХ 179

2.5.1. Первый замечательный предел 179

2.5.2. Второй замечательный предел 180

2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них 183

ЛЕКЦИЯ 2.6. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТОЧКИ РАЗРЫВА 188

2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных 188

2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных 189

2.6.3. Точки разрыва 191

Раздел 2. Дифференциальное исчисление лекция 2.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества. Множество действительных чисел

2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Это первичное понятие, которое не может быть определено через другие, более элементарные понятия.

Под множеством понимают совокупность (собрание, семейство, класс, …) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, которые образуют множество, называются его элементами или точками этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов группы, множество предприятий некоторой отрасли, множество букв алфавита и т. д.

Математические множества могут состоять из чисел, векторов, матриц, функций и других объектов.

Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита , а их элементы – малыми буквами .

Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись или означает, что элемент не принадлежит множеству . Например, если – множество натуральных чисел, то , .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Множество считается заданным, если перечислены все его элементы или указано такое свойство его элементов, которое позволяет судить о том, принадлежит данный элемент множеству или нет. Такие свойства называют характеристическими свойствами. Например, говоря о множестве всех четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: каждое число, принадлежащее этому множеству, делится нацело на два.

При задании множества элементы записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно).

Примеры.

1. Запись означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и .

2. Запись означает, что множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Если множества и равны, то пишут: .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначается так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Например, – множество всех студентов вуза, а – множество студентов – первокурсников этого вуза, тогда есть подмножество , т. е. .

По определению пустое множество является подмножеством любого множества, и само множество является своим подмножеством.

Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным, если число элементов бесконечно.

Примером бесконечного множества является множество точек на прямой.

Определение. Число элементов в конечном множестве называется его мощностью. Мощность пустого множества равна нулю.

Рассмотрим операции над множествами.

Определение. Пересечением (или произведением) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству .

Пересечение (произведение) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать и (см. рис. 2.1.1).

П ересечение и на рис.2.1.1, б является пустым множеством.

Два множества, пересечение которых есть пустое множество, называются непересекающимися.