- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление 138
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление лекция 2.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества. Множество действительных чисел
- •2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств
- •Свойства.
- •2.1.2. Множество действительных чисел
- •Лекция 2.2. Переменная величина. Функция одной и нескольких переменных. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •2.2.1. Переменная величина
- •2.2.2. Функция одной и нескольких переменных
- •2.2.3. Способы задания функции
- •2.2.4. Основные свойства функции
- •2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •Основные элементарные функции
- •Лекция 2.3. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.3.1. Предел переменной величины.
- •2.3.2. Предел функции
- •2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства
- •Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов
- •2.4.1. Теоремы о пределах
- •2.4.2. Признаки существования пределов
- •Лекция 2.5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •2.5.1. Первый замечательный предел
- •2.5.2. Второй замечательный предел
- •2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва
- •2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных
- •2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных
- •2.6.3. Точки разрыва
Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва
2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных
Рассмотрим функцию одной переменной, определенную на некотором отрезке .
Пусть некоторая точка и – значение функции в этой точке. Для точки зададим приращение . Тогда значение функции в новой точке есть . Таким образом, функция получит приращение : (см. рис. 2.6.1). называется приращением функции в точке и может обозначаться . называется приращением независимой переменной или приращением аргумента.
Рассмотрим – функцию двух переменных, определенную на некоторой области .
Так как функция зависит от двух переменных и , то приращение можно задать либо только для одного из аргументов, либо для обоих аргументов одновременно. В зависимости от того скольким переменным задается приращение, функция двух переменных может получить либо частное, либо полное приращения.
П усть некоторая точка и – значение функции в этой точке. Зададим приращение аргументу в точке : , оставляя без изменения. Тогда значение функции в новой точке есть .
Т аким образом, функция получает частное приращение по , которое обозначается :
(см. рис. 2.6.2)
Если задавать приращение для аргумента равное , оставляя при этом без изменения, то функция получит частное приращение по : (см. рис. 2.6.3).
Если задать приращение одновременно для двух аргументов – и , то функция получит полное приращение:
(см. рис. 2.6.4).
2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных
Пусть – функция одной переменной. Рассмотрим два определения непрерывности этой функции в точке.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. .
Пример. Функция – непрерывна в любой точке .
Так как, , то . А это и означает, что функция непрерывна.
Определение 2. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые равны между собой и равны значению функции в точке , т.е. , где . Иначе говоря, существует предел функции в точке и он равен значению функции в этой точке.
Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.
Замечание. Все основные элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.
Пусть – функция двух переменных.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям аргументов и соответствует бесконечно малое приращение функции – , т.е. .
Определение. Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной в этой области.
Сформулируем теоремы о непрерывных функциях, которые следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах (см. п. 2.4.1).
Теорема 1. Сумма, произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией непрерывной в той же точке.
Теорема 2. Частное двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если знаменатель отличен от нуля.
Теорема 3. Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.
Теорема 4. Функция, обратная к монотонной и непрерывной функции, непрерывна.
Непрерывность функции в замкнутом интервале обуславливает наличие у этой функции ряда важных свойств общего характера. Укажем некоторые из них.
Теорема 5. Функция, непрерывная в замкнутом интервале, хотя бы в одной точке интервала принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.
Теорема 6. Функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в ноль внутри интервала.
Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 8. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между и .
Приведенные свойства можно перенести на функцию любого числа переменных, непрерывную в замкнутой области .