2.2.3. Способы задания функции

Наиболее распространены следующие способы задания функции: аналитический, графический и табличный.

I. Аналитический способ задания функции состоит в том, что дается формула, с помощью которой по значениям независимой переменной (независимых переменных) можно получить соответствующие им значения функции.

Функция, заданная аналитическим способом может быть задана: явно, неявно и параметрически.

Функция называется явно заданной, если она задана уравнением , разрешенным относительно зависимой переменной (зависимой переменной ).

Примеры.

1. – явная функция одной переменной.

2. – явная функция двух переменных.

Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением – для функции одной переменной ( – для функции двух переменных), не разрешенным относительно зависимой переменной (зависимой переменной ).

Аналогично определяется неявно заданная функция независимых переменных вида , где .

Примеры.

1. – неявно заданная функция одной переменной.

2. – неявно заданная функция двух переменных.

3. – неявно заданная функция трех переменных.

Функция называется параметрически заданной, если сама функция и её аргумент (аргументы) заданы аналитическими выражениями, зависящими от одного и того же параметра :

– функция одной переменной; – функция двух переменных.

Исключая параметр, можно получить функцию явно или неявно заданную.

Пример. – параметрически заданная функция одной переменной. Исключим параметр :

тогда – неявно заданная функция одной переменной.

Преимущества аналитического способа задания функции заключаются: – в сжатости, компактности задания;

– в возможности применить к данной функции аппарат математического анализа, поскольку он наилучшим образом приспособлен к аналитической форме задания функций.

II. Графический способ задания функции состоит в построении графика этой функции.

Определение. Графиком функции называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Графиком функции одной переменной является линия на плоскости.

Пример. Функция изображена в виде графика (рис. 2.2.3).

Графиком функции двух переменных является поверхность в трехмерном пространстве.

Пример. Графиком функции является поверхность второго порядка – эллиптический параболоид (см. рис.2.2.4).

К графику функции не может быть непосредственно применен аппарат математического анализа. Наряду с этим недостатком, график функции обладает весьма важным преимуществом – наглядностью, что делает его чрезвычайно полезным при изучении функции .

III. Табличный способ задания функции состоит в перечислении значений независимой (независимых) переменной (переменных) и соответствующих им значений функции, с последующим занесением их в таблицу:

Таблица 2.2.1

			…
			…

Таблица 2.2.2

				…
				…
				…
				…

Все вышеприведенные определения, относящиеся к случаю функции двух независимых переменных, без существенных изменений переносятся на случаи функции многих независимых переменных. Заметим только, что геометрическая иллюстрация функций от независимых переменных при теряет наглядность.