- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление 138
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление лекция 2.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества. Множество действительных чисел
- •2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств
- •Свойства.
- •2.1.2. Множество действительных чисел
- •Лекция 2.2. Переменная величина. Функция одной и нескольких переменных. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •2.2.1. Переменная величина
- •2.2.2. Функция одной и нескольких переменных
- •2.2.3. Способы задания функции
- •2.2.4. Основные свойства функции
- •2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •Основные элементарные функции
- •Лекция 2.3. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.3.1. Предел переменной величины.
- •2.3.2. Предел функции
- •2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства
- •Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов
- •2.4.1. Теоремы о пределах
- •2.4.2. Признаки существования пределов
- •Лекция 2.5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •2.5.1. Первый замечательный предел
- •2.5.2. Второй замечательный предел
- •2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва
- •2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных
- •2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных
- •2.6.3. Точки разрыва
Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов
2.4.1. Теоремы о пределах
Правила, по которым находятся пределы функций, включают теоремы, справедливые для функции любого числа переменных при и при .
Эти теоремы позволяют находить пределы в тех случаях, когда функции представляют собой результат арифметических действий над другими функциями, пределы которых существуют и заранее известны.
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. если , то .
Теорема 2. Предел суммы конечного числа функций в точке равен сумме пределов этих функций в этой точке:
.
Доказательство:
Приведем доказательство для суммы двух функций. Докажем, что .
Пусть и . Тогда по теореме 7 (п.2.3.3) можно записать и .
Следовательно, , где бесконечно малая функция как сумма бесконечно малых функций. Тогда по теореме 7 (п.2.3.3) можно записать , т.е.
. Ч. и т. д.
В случае разности двух функций и суммы любого конечного числа функций доказательство аналогично.
Следствие 1. Функция может иметь только один предел при .
Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций в точке равен произведению пределов этих функций в этой точке:
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, делимому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
.
Примеры.
1. Найти .
Решение: В данном случае предел функции, стоящей в знаменателе, при отличен от нуля, поэтому можно применить приведенные выше теоремы:
.
Иначе говоря, в данном случае, чтобы найти предел, можно вместо независимой переменной подставить её значение в предельной точке.
2. Найти .
Решение: Функция , стоящая в знаменателе дроби при и стремится к числу , тогда
Пример аналогичен предыдущему: вместо независимых переменных необходимо подставить их значения в предельной точке.
3. Найти .
Решение: Предел знаменателя при равен нулю и теорема 4 не применима. В данном случае воспользуемся свойством бесконечно малой функции (см. п.2.3.3 теорема 6). Функция – бесконечно малая при , тогда обратная ей дробь – бесконечно большая функция, а значит .
Таким образом, если знаменатель дроби не обращается в ноль, то чтобы найти такой предел, достаточно в выражение функции подставить предельные значения независимых аргументов. Если же знаменатель стремиться к нулю , а числитель к некоторому постоянному числу, то при нахождении предела используют свойство бесконечно малой величины (см. п.2.3.3 теорема 6).
В случае неопределенных выражений, характеризуемых условно символами: (будем называть их неопределенностями), которые возникают при отыскании предела выражений: ; ; или предел может существовать или не существовать. В пределах такого типа, требуются дополнительные преобразования или специальные исследования. Рассмотрим некоторые из них.
I. Требуется найти предел дробно-рационального выражения вида (отношение двух многочленов) при , тогда в пределе будет иметь место неопределенность . Чтобы раскрыть её, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на переменную в наибольшей степени.
Пример. .
Предел числителя равен , а знаменатель при сумма бесконечно малых величин, т.е. величина бесконечно малая, поэтому вся дробь – есть бесконечно большая величина, т.е. .
Пользуясь рассмотренным выше способом можно вывести правило раскрытия неопределенности в пределе отношения двух многочленов
Пример. , так как и , .
II. Пусть требуется найти предел дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю при , тогда в пределе будет иметь место неопределенность .
а) Если числитель и знаменатель – многочлены, то чтобы раскрыть данную неопределенность, необходимо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить дробь.
В некоторых случаях удобнее разделить числитель и знаменатель на критический множитель (для функции одной переменной), или воспользоваться определением предела.
Примеры.
1. (при сокращении на учитывается, что , но ).
2.
3. . Разделим числитель и знаменатель на критический множитель :
Тогда .
4. . Будем приближаться к началу координат по прямым , тогда . Имеем при ; при ; при и т.д. Отсюда следует, что предел этой функции не существует.
b) Если дробь является иррациональным выражением, в некоторых случаях, чтобы раскрыть данную неопределенность необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное иррациональному или применить подстановку.
Примеры.
1.. Умножим числитель и знаменатель на выражение – сопряженное числителю .
, таким образом .
2. . Выполним подстановку при
.
Таким образом, .