Свойства.

1. (перестановочность).

2. (ассоциативность).

3. .

4. =.

Определение. Объединением (или суммой) множеств и называется множество , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать или (см. рис. 2.1.2).

Н а рис. 2.1.2, а объединение получается как слитное образование, а на рис. 2.1.2, б – как раздельное.

Свойства

1. (коммутативность).

2. (ассоциативность).

3. .

4. .

О пределение. Разностью множеств и называется множество , которое состоит из всех элементов множества , не принадлежащих множеству . Разность множеств обозначают . Кратко можно записать и .

На рис.2.1.3, б разность , так как , а на рис. 2.1.3, в разность , так как .

По определению , .

Определение. Если , то разность называется дополнением до множества и обозначается (см. рис.2.1.4). В этом случае рассматривается как основное множество.

Примеры.

1. Даны множества , . Найти объединение, пересечение и разность множеств и .

Решение: , , .

2. Даны множества , . Найти дополнение до .

Решение: .

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

– означает «из предложения следует предложение »;

– «предложение и равносильны», т. е. из следует и из следует ;

– означает «для любого», «для всякого»;

– «существует», «найдется»;

: – «имеет место», «такое что».

Примеры.

1. Запись : означает: «для всякого элемента имеет место предложение ».

2. или – эта запись определяет объединение множеств и .

Если заданы два множества , и правило (закон) , по которому каждому элементу ставится в соответствие , тогда говорят, что задано отображение множества в , и пишут или . При этом элемент называется образом элемента , если этот элемент при отображении в ему соответствует, т. е. .

Если множество значений отображения совпадает с множеством , то говорят, что отображает множество на множество . В общем случае в множестве могут быть элементы, которые не соответствуют ни одному элементу из множества .

Если при отображении каждый элемент множества поставлен в соответствие единственному элементу из множества , то это отображение называется взаимно однозначным, или обратимым, и пишут . Отображения и называются взаимно обратными.

Если между элементами двух различных множеств и можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества называют эквивалентными (или равномощными) и записывают ~.

Свойства эквивалентности.

1. A~A (рефлексивность).

2. A~BB~A (симметричность).

3. A~B, B~C A~C (транзитивность).

Каждому классу бесконечных эквивалентных множеств, ставят в соответствие символ , называемый координальным числом, или мощностью множества. Под мощностью понимают то общее, что присуще классу эквивалентных между собой множеств.

Доказано, что среди бесконечных множеств нет множества наибольшей мощности, но есть множество наименьшей мощности – это множество натуральных чисел.

Все множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, называются счетными (множество, элементы которого можно пронумеровать). Следующее по мощности множество есть множество мощности континуума. Примером может служить множество действительных чисел.