- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление 138
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление лекция 2.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества. Множество действительных чисел
- •2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств
- •Свойства.
- •2.1.2. Множество действительных чисел
- •Лекция 2.2. Переменная величина. Функция одной и нескольких переменных. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •2.2.1. Переменная величина
- •2.2.2. Функция одной и нескольких переменных
- •2.2.3. Способы задания функции
- •2.2.4. Основные свойства функции
- •2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •Основные элементарные функции
- •Лекция 2.3. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.3.1. Предел переменной величины.
- •2.3.2. Предел функции
- •2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства
- •Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов
- •2.4.1. Теоремы о пределах
- •2.4.2. Признаки существования пределов
- •Лекция 2.5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •2.5.1. Первый замечательный предел
- •2.5.2. Второй замечательный предел
- •2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва
- •2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных
- •2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных
- •2.6.3. Точки разрыва
2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.
Если – бесконечно малая величина в окрестности точки , т.е. , то – бесконечно малая функция –го порядка малости.
Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к нулю.
Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их отношения.
Пусть и есть бесконечно малые функции при , т. е. и .
1. Если , то при быстрее, чем , поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.
2. Если , то при быстрее, чем , поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.
3. Если , то и – бесконечно малые одного порядка малости.
4. Если не существует, то и – несравнимые бесконечно малые.
Отметим, что таковы же правила сравнения бесконечно малых функций при .
Примеры.
1. Сравнить порядок функций и при .
Решение:
и бесконечно малые функции одного порядка при .
2. Сравнить порядок функций и при .
Решение:
– бесконечно малая более высокого порядка.
3. Можно ли сравнить функции и при ?
Решение: Рассмотрим передел . Этот предел не существует при функции и при являются несравнимыми бесконечно малыми функциями.
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.
Определение. Бесконечно малые функции и называются эквивалентными при , если ; это обозначается так: .
Пример. при , так как ; при , так как .
Теорема 8. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Доказательство:
Пусть и при . Тогда
, т.е. . Ч. и т. д.
Очевидно также, что .
Теорема 9. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая их них.
Теорема 10 (обратная). Если разность бесконечно малых функций и есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем или , то и – эквивалентные бесконечно малые.
Терема 11. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство: Докажем теорему для двух функций. Пусть , при , причем – бесконечно малая функция большего порядка малости, чем , т.е. .
Тогда при .
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы бесконечно малых величин её главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример. Найти предел .
Решение: Так как , а (так как – бесконечно малая функция более низкого порядка малости чем ) при (см. теорему 11), то .
Для раскрытия неопределенностей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
Известно, что при , при . Приведем еще примеры эквивалентных бесконечно малых функций.
Примеры.
1. Найдем .
Следовательно, при .
2. Покажем, что при .
Т.е. докажем, что . Действительно,
. Ч. и т. д. Значит, при .
Важнейшие эквивалентности приведены ниже:
при
1. |
6. |
2. |
7. |
3. |
8. |
4. |
9. |
5. |
10. в частности, |
Примеры.
1. Найти .
Решение: При , , тогда
2. Найти .
Решение:
При , тогда . Получаем .
3. Найти .
Решение:
При , тогда
.