2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства

Определение. Функция одной переменной называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большего числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т. е. .

Пример. Функция есть бесконечно большая функция при .

Если стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Аналогично можно дать определение для функции – независимых переменных.

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большого числа найдется такая –окрестность точки , для всех точек которой выполняется неравенство , т.е. .

Пример. Функция двух переменных в окрестности точки (начало координат) является бесконечно большой функцией, так как (см. рис.2.3.4).

Отметим, что функция может являться бесконечно большой функцией только в окрестности точки ; в других частях области определения она может быть ограниченной величиной.

Определение. Функция одной переменной , заданная на всей числовой оси, называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большого числа найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т. е. .

Пример. для есть бесконечно большая функция при , т. е. .

Аналогично, функция , заданная на всех точках – мерного пространства, называется бесконечно большой при , если .

Определение. Функция одной переменной называется бесконечно малой при , если , т. е. для любого сколь угодно малого найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т.е. .

Аналогично определяется бесконечно малая функция при , , , : во всех этих случаях .

Примеры.

1. – бесконечно малая при .

2. – бесконечно малая при .

3. – бесконечно малая при , .

Определение. Функция нескольких переменных называется бесконечно малой при , если для любого сколь угодно малого числа найдется такая – окрестность точки , для всех точек которой выполняется неравенство , т.е. .

Пример. Функция двух переменных – бесконечно малая функция в – окрестности точки , .

Функция любого числа переменных может быть бесконечно малой функцией только в окрестности предельной точки.

Пример. Функция – бесконечно малая функция в окрестности начала координат при и , а при бесконечном удалении от начала координат по любому направлению при она неограниченно возрастает. Следовательно, при она является бесконечно большой функцией.

Бесконечно малые (большие) функции часто называют бесконечно малыми (большими) величинами, их обозначают обычно греческими буквами , и т. д. или .

Свойства бесконечно малой величины и её связь с бесконечно большой величиной сформулируем в виде теорем, и представим доказательства некоторых из них.

Теорема 3. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция, т.е.

если – бесконечно малая функция, где , то – бесконечная функция.

Доказательство: Пусть и две бесконечно малые функции независимых переменных при . Тогда и .

По определению предела это значит, что для любого , а значит и найдутся –окрестность и –окрестность точки , для всех точек которых будут соответственно выполняться неравенства и .

Пусть –наименьшее из чисел и , тогда для всех точек из – окрестности будут выполняться оба эти неравенства.

Следовательно, имеет место соотношение

.

Это значит, что , т. е. –бесконечно малая величина при . Ч. и т. д.

Доказательство сохраняется, если вместо суммы двух бесконечно малых функций рассматривать их разность, а также в случае любого конечного числа бесконечно малых функций.

Теорема 4. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Доказательство:

Если – бесконечно малая функция, а – ограничена, то – бесконечно малая функция.

Доказательство проведем для функции одного неизвестного.

Рассмотрим функцию , которая ограничена при , тогда по определению ограниченной функции (см. п.2.2.4) существует такое , что для всех из –окрестности точки выполняется неравенство .

Пусть – бесконечно малая функция при , тогда для любого , а значит, и найдется такая –окрестность точки , для всех точек которой выполняется неравенство .

Обозначим через наименьшее из чисел и , тогда для всех точек из – окрестности точки выполняются оба неравенства. Следовательно, имеет место соотношение

.

Это значит, что , т. е. – бесконечно малая функция.

Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение числа (постоянной) и бесконечно малой величины есть функция бесконечно малая.

Теорема 5. Частное от деления бесконечной малой функции на функцию, имеющую предел отличный от нуля, есть функция бесконечно малая т.е. если – бесконечно малая функция и , то – бесконечно малая величина.

Теорема 6. Если функция – бесконечно малая, то есть бесконечно большая функция и наоборот: если – бесконечно большая функция, то – бесконечно малая.

Доказательство:

Пусть – бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого найдется такая – окрестность точки , для всех точек которой выполняется неравенство .

Следовательно, , т.е. , где . А это означает, что функция – есть бесконечно большая функция. Ч. и т. д.

Аналогично доказывается обратное утверждение.

Замечание. Доказательства теорем 3–6 приводились для случая, когда , но они справедливы и для случая, когда .

Пример. Показать, что функция при является бесконечно малой.

Решение: функция – бесконечно малая при . функция , , ограничена.

Таким образом, функция – есть произведение бесконечной малой и ограниченной функции. Значит по теореме 4 это функция бесконечно малая при .

Рассмотрим теорему о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.

Теорема 7. Функция имеет предел равный тогда и только тогда , когда её можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , т.е..

Доказательство:

Докажем прямое утверждение: если , то .

Пусть точки из – окрестности точки , т. е. .

Это значит, что , т.е. что функция является бесконечно малой, которую обозначим через , тогда . Отсюда . Ч. и т. д.

Докажем обратное утверждение: если , то . Пусть , где – бесконечно малая функция при , т. е. точки из –окрестности точки .

По условию , то .

Получаем, что точки из –окрестности точки .

А это и означает, что . Ч. и т. д.