- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление 138
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление лекция 2.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества. Множество действительных чисел
- •2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств
- •Свойства.
- •2.1.2. Множество действительных чисел
- •Лекция 2.2. Переменная величина. Функция одной и нескольких переменных. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •2.2.1. Переменная величина
- •2.2.2. Функция одной и нескольких переменных
- •2.2.3. Способы задания функции
- •2.2.4. Основные свойства функции
- •2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •Основные элементарные функции
- •Лекция 2.3. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.3.1. Предел переменной величины.
- •2.3.2. Предел функции
- •2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства
- •Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов
- •2.4.1. Теоремы о пределах
- •2.4.2. Признаки существования пределов
- •Лекция 2.5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •2.5.1. Первый замечательный предел
- •2.5.2. Второй замечательный предел
- •2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва
- •2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных
- •2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных
- •2.6.3. Точки разрыва
2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики
Функции одной переменной делят на два класса по области существования.
Определение. Если областью существования функции служит множество натуральных чисел , то функцию называют последовательностью и обозначают , , и т. д.
Как правило, последовательность задают: формулой общего члена (например,) или рекуррентно (например, , т.е. через связь с предыдущими членами последовательности).
Определение. Если областью определения функции служит один или несколько интервалов числовой оси , или вся числовая ось, то функцию называют функцией непрерывного аргумента.
К основным элементарным функциям относятся:
– степенная функция , ;
– показательная функция , ;
– логарифмическая функция , ;
– тригонометрические функции . , , ;
– обратнотригонометрические функции , , , .
Графики и наиболее важные свойства основных элементарных функций приведены в таблице.
Таблица 2.2.3.
Основные элементарные функции
Функция |
График |
Свойства |
||
|
|
|
-четное Четная.
Убывает при .
|
-нечетное Нечетная. Возрастает при
|
|
|
|
-четное Ни четная ни нечетная. Возрастает при
|
-нечетное Нечетная. Возрастает при
|
|
|
, Ни четная ни нечетная. Возрастает при , если убывает , если . |
||
|
|
, Ни четная ни нечетная. Возрастает, если . Убывает , если |
||
|
Четная.
Убывает . Периодическая .
|
|||
|
Нечетная.
Убывает . . Периодическая .
|
|||
|
|
. . Нечетная.
Периодическая .
|
|
|
|
|
Нечетная.
Периодическая .
|
|
|
|
|
Нечетная. Возрастает . |
|
|
|
Ни четная ни нечетная. Убывает . . |
|
||
|
|
Нечетная. Возрастает
|
|
|
|
|
Ни четная, ни нечетная. Убывает . |
|
Определение. Функции, составленные из основных элементарных функций, называются элементарными, если удовлетворяют двум условиям: задаются одним аналитическим выражением в области определения; представляют результат конечного числа алгебраических операций и операций взятия функции от функции.
Примеры. Неэлементарными функциями могут служить следующие функции:
1. – функция в области определения задана двумя аналитическими выражениями.
2. – формула, задающая функцию, состоит из бесчисленного числа операций.
Элементарные функции разделяют на два класса: алгебраические и трансцендентные функции.
Определение. Функция называется алгебраической, если её значение можно получить, производя над независимой переменной конечное число алгебраических действий: сложений, вычитаний, делений и возведений в степень с рациональным показателем.
Среди алгебраических функций в свою очередь выделяют:
1. Рациональные функции, если среди алгебраических действий, производимых над независимой переменной, отсутствует операция извлечения корня:
– многочлены , например, .
– дробно-рациональные функции (отношение многочленов)
,
например .
2. Иррациональные функции, если среди алгебраических действий, производимых над независимой переменной, есть операция извлечения корня, например: ; .
Определение. Функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.
К трансцендентным функциям относятся:
– показательная;
– логарифмическая;
– тригонометрические;
– обратнотригонометрические;
– гиперболические .
Пример. – трансцендентные функции.