2.6.3. Точки разрыва

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции, а сама функция – разрывной в этой точке.

Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий определения 2 непрерывности функции.

Определение. Точка называется точкой разрыва I–го рода функции , если односторонние пределы функции в этой точке существуют, конечны, но не равны между собой, т.е. , и .

Пример. Функция задана аналитическими выражениями двух функций и , которые непрерывны соответственно на интервалах и (см. рис. 2.6.5).

– точка разрыва I-го рода, так как , , , т.е. односторонние пределы функции в точке существуют, конечны, но не равны между собой.

Определение. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если односторонние пределы функции в этой точке существуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в этой точке, т.е. и .

Пример. Для функции (см. рис. 2.6.6)

– точка устранимого разрыва, так как , , т.е. односторонние пределы функции в точке существуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Разрыв можно устранить, если вместо при придать функции значение .

Определение. называется точкой разрыва II –го рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа) функции в этой точке не существует или равен бесконечности.

Пример. Функция – определена и непрерывна на всей числовой оси кроме точки (см. рис. 2.6.7). – точка разрыва II-го рода, так как ; .

Аналогично, для функции двух переменных , точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Эти точки могут образовывать целые линии разрыва.

Пример. Функция имеет линию разрыва .