19)Энергия магнитного поля катушки с током. Плотность энергии магнитного поля.

Посмотрим, как влияет э.д.с. самоиндукции на процесс установления тока в цепи, содержащей индуктивность. Отключим источник , разомкнув в момент времени t = 0 ключ К. Ток в катушке начинает убывать, но при этом возникает э.д.с. самоиндукции, поддерживающая убывающий ток.

Закон изменения тока в цепи приобретает вид:

Оказывается, ток в цепи, после выключения источника, будет убывать по экспоненциальному закону и станет равным нулю только спустя t = .

Вы и сами теперь легко покажете, что при включении источника (после замыкания ключа К) ток будет нарастать тоже по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к значению I₀

.

Но вернёмся к первоначальной задаче размыкания цепи.

Мы отключили в цепи источник питания (разомкнули ключ К), но ток — теперь в цепи продолжает течь. Где черпается энергия, обеспечивающая бесконечное течение этого убывающего тока? Ток поддерживается электродвижущей силой самоиндукции  = . За время dt убывающий ток совершит работу: dA = ^СИIdt = –LIdI.

Ток будет убывать от начального значения I₀ до нуля. Проинтегрировав последнее выражение в этих пределах, получим полную работу убывающего тока:

.

Совершение этой работы сопровождается двумя процессами: исчезновением тока в цепи и исчезновением магнитного поля катушки индуктивности.

Опыт даёт ответ на эти вопросы: энергия электрического тока связана с его магнитным полем и распределена в пространстве, занятом этим полем.

Несколько изменим выражение, учтя, что для длинного соленоида справедливы следующие утверждения: L = ₀n²Sl— индуктивность; B₀ = ₀nI₀ — поле соленоида.

Эти выражения используем в (10.9) и получим новое уравнение для полной работы экстратока размыкания, или — начального запаса энергии магнитного поля: .

Здесь V = Sl — объём соленоида (магнитного поля!).

Энергия катушки с током пропорциональна квадрату вектора магнитной индукции.

Разделив эту энергию на объём магнитного поля, получим среднюю плотность энергии:

[].

Локальная плотность энергии в заданной точке поля:

.

20)Собственные электрические колебания в колебательном контуре. Логарифмический декремент затухания и добротность колебания

Колебания электрических величин — заряда, напряжения, тока — можно наблюдать в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления (R), ёмкости (C) и катушки индуктивности (L)

Колебания, происходящие только за счёт внутренних энергетических ресурсов системы, называются собственными. Первоначально энергия была сообщена конденсатору и локализована в электростатическом поле. При замыкании конденсатора на катушку, в цепи появляется разрядный ток, а в катушке — магнитное поле. Э.д.с. самоиндукции катушки будет препятствовать мгновенной разрядке конденсатора. Через четверть периода конденсатор полностью разрядится, но ток будет продолжать течь, поддерживаемый электродвижущей силой самоиндукции. К моменту эта э.д.с. перезарядит конденсатор. Ток в контуре и магнитное поле уменьшатся до нуля, заряд на обкладках конденсатора достигнет максимального значения.

Эти колебания электрических величин в контуре будут происходить неограниченно долго, если сопротивление контура R = 0. Такой процесс называют собственные незатухающие колебания.

Если сопротивлением резистора R (силой сопротивления в механическом осцилляторе) пренебречь нельзя, то в подобных системах будут происходить собственные затухающие колебания.

Характер затухающих колебаний меняется с увеличением сопротивления резистора R. Когда сопротивление превысит определённое критическое значение R_к, колебания в системе не возникают. Происходит монотонный апериодический разряд конденсатора

. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка — дифференциальное уравнение собственных незатухающих электрических колебаний. Решением этого уравнения является следующая гармоническая функция: q = Acos(₀t + ). частота собственных незатухающих колебаний гармонического осциллятора: .

Окончательно закон изменения заряда конденсатора во времени принимает следующий вид:

q = q₀cos(₀t). Ток в цепи при этом меняется так:

Собственные затухающие колебания происходят в колебательном контуре RLC

Эти колебания можно описать следующим дифференциальным уравнением (правило напряжений Кирхгофа): IR – U_C = ^СИ.Здесь по-прежнему: I = ; U_C = ; ^СИ = = = .

Учитывая эти соотношения, уравнению придадим следующий вид:

;(11.7). есь  = — коэффициент затухания; = — частота собственных незатухающих колебаний. Уравнение 11.7— дифференциальное уравнение собственных затухающих электрических колебаний.

Важной характеристикой затухающего процесса является логарифмический декремент затухания — логарифм отношения амплитуд двух соседних колебаний : . Логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания  на время одного полного колебания (период) Т. Процесс затухания колебания до нуля продолжается бесконечное время, поэтому условно принято считать, что процесс затух, если амплитуда колебаний уменьшилась в е раз.

и .

Логарифмический декремент затухания d обратен числу колебаний, по истечению которых амплитуда падает в е раз. В радиотехнике для энергетической характеристики затухания часто используют величину, которая получила название добротность контура: .