Схемы переменных состояний (спс)

Схемы переменных состояния состоят из следующих основных элементов:

1. В основе СПС лежит единичный интегратор:

2. Следующим основным элементом СПС является пропорциональное (безынерционное) звено:

3. Сумматор.

Схемы переменных состояния строятся по передаточной функции объекта. Существует три способа построения схем состояния:

• метод прямого программирования (базовый);

• метод параллельного программирования;

• метод последовательного программирования.

Метод прямого программирования (базовый)

Используется, если описание САУ представлено в виде передаточной функции:

, пусть n=m

Алгоритм построения СПС базовым методом.

1. Получаем преобразованную передаточную функцию: числитель и знаменатель исходной делим на в наивысшей степени, (переходя тем самым к отрицательным степеням), а также на коэффициентa₀. СПС построить невозможно, если m > n.

2. Строим последовательную цепь из k единичных интеграторов, где k - максимальный модуль степени р числителя преобразованной передаточной функции.

3. Числитель преобразованной передаточной функции позволяет построить прямые линии связи. Выход каждого (того) интегратора умножается на соответствующий коэффициент (), затем получившиеся сигналы суммируются. Если коэффициент () = 0, то это говорит об отсутствии соответствующего сигнала. Количество слагаемых числителя преобразованной передаточной функции равно количеству сигналов, образующих выходной сигнал.

Коэффициент соответствует сигналу ошибки. Еслиm < n, то коэффициент, соответствующий сигналу ошибки будет равен нулю.

4. Знаменатель преобразованной передаточной функции позволяет построить обратные линии связи (аналогично). Коэффициенты знаменателя со знаком (+) соответствуют отрицательным обратным связям и наоборот. Наличие единицы в знаменателе обязательно, но оно не отображается на СПС.

В методе пространства состояния (если нет иных оговорок) нумерация внутренних переменных идет с конца.

Пример:

Рассмотрим следующую передаточную функцию:

, преобразуем ее в

.

По данным строим схему:

П

о данной схеме переменных состояния составим систему уравнений. Рассмотрим расширенный вектор:

, выходной же вектор - .

Допустим, что r(t) – единичная ступенчатая функция, тогда система уравнений будет иметь вид:

Для y(t) составим уравнение: .

Определяем матрицу коэффициентов: .

Матрица выхода: .

Т.о., если записать в матричном виде, то получим уравнения:

.

Методы последовательного и параллельного программирования

В этом случае исходная структурная схема представлена в виде соединений звеньев, либо передаточная функция представлена произведением (или суммой) передаточных функций простейших звеньев. В этом случае схема переменных состояния получается путем последовательного построения СПС для каждого из звеньев (базовым методом).

Пример:

Схема состояния будет выглядеть следующим образом:

С

оставим систему уравнений:

Т.о. матрица коэффициентов А имеет следующий вид:

; а матрица .

Схемы переменных состояния типовых звеньев

1. Апериодическое звено:

Схема состояния такого звена имеет вид:

2. Колебательное звено:

Ему соответствует схема состояния следующего вида:

3. Идеальное интегрирующее звено:

Схема состояния:

4. Идеальное дифференцирующее звено:

Схема состояния идеального дифференцирующего звена не существует.

5. Реальное дифференцирующее звено:

Схема состояния имеет вид:

6. Изодромное звено:

Схема состояния:

Построим схему из предыдущего примера методом последовательного программирования: