Смещенные уравнения

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Сместим мнимую ось влево на величину , что математически означает введение новой переменной,тогда характеристическое уравнение примет вид:

Здесь A_i =f(a_i, ).

Это означает, что на границе устойчивости будет либо один корень, либо два сопряженных комплексных корня. Если это будет действительный корень, то A_п=0, если это комплексные корни, то предпоследний определитель Гурвица равен нулю.

Т.о. введение смещенного уравнения (1) и использование алгебраического критерия Гурвица позволяет определить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Корневые методы, в отличие от частотных методов, определяют область, отвечающую заданным показателям качества.

Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса

Корни знаменателя называются корнями характеристического уравнения или полюсами передаточной функции. Корни числителя называются нулями передаточной функции. Чтобы исследовать САУ на устойчивость и на качество управления необходимо определить нули и полюса передаточной функции. Перед исследованием нужно проверить: . Если, то их нужно сократить, и они не будут влиять ни на качество, ни на устойчивость.

Рассмотрим частный случай, когда передаточная функция системы имеет вид:

,

где - ноль передаточной функции.

- переходный процесс y(t) состоит из двух составляющих, при этом:

Графически это означает, что:

Если просуммировать y₁(t) и y₂(t), то получим верхний график y(t).

Т

.о. нули передаточной функции не увеличивают время переходного процесса, а вносят колебательность в переходный процесс. Нули передаточной функции не влияют на устойчивость системы, поэтому при синтезе линейных САУ, отвечающих максимальному быстродействию, можно не рассматривать нули передаточной функции.

Рассмотрим случай, когда ноль передаточной функции совпадает с полюсом.

Будем считать, что , это означает следующее:

Если _i была величина положительная и единственная, то полюс p_i скомпенсировал данный корень и САУ будет устойчивой. Т.о., компенсация нулей передаточной функции и полюсов передаточной функции может быть использована в построении корректирующих устройств САУ.

Диаграмма Вышнеградского

Влияние распределения корней на характер переходного процесса и на устой­чивость хорошо иллюстрирует диаграмма, построенная И.А. Вышнеградским для нормированного характеристиче­ского уравнения третьего порядка

.

О

бласть устойчивости в плоскости параметровА₁ и А₂ состоит из трех областей, соответствующих различному распределению корней. Область I, ограниченная линией abc, соответствует трем действительным (и не равным друг другу) корням и апериодическому переходному процессу. Область II, ограниченная линией abd, соответствует паре комплексных корней и одному действительному корню, причем действительный корень ближе к мнимой оси, чем комплексные. Переходный процесс в этом случае монотонный. В области III, заключенной между границей устойчивости и линией abc, также пара комплексных корней и один действительный, но к мнимой оси ближе расположены комплексные корни. Переходный процесс колебательный.

На диаграмме показано также распределение корней для разграничительных линий. В точке b, в которой А₁=А₂=3, все три корня действительные и равные друг другу.