У замкнутой системы изменение аргумента при изменении частоты от 0 до :

для устойчивой системы

Изменение аргумента вспомогательной функции составит:

.

Тогда критерий Найквиста звучит так:

если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если годограф разомкнутой системы охватывает точку (-1; ј0) в положительном направлении m раз, или, используя правило переходов: разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна .

Объединяя два случая, можно дать следующее определение критерия Найквиста:

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы на отрезке действительной оси будет равна, где т – количество правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке ( -∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.

Примеры:

1. т = 2

2

.т = 2

Система неустойчивая.

3. т=5

Система устойчивая.

Критерий Найквиста для астатических систем

Для определения устойчивости систем с астатизмом порядка , следует дополнить АФЧХ разомкнутой системы дугойокружности бесконечно большого радиуса и затем применить критерий Найквиста.

Примеры.

Логарифмический критерий устойчивости

Логарифмический критерий устойчивости применяется при исследовании сложных многоконтурных систем, при построении ЛАЧХ корректирующих звеньев, выводящих исходную систему из неустойчивого состояния. Базовым для логарифмического критерия устойчивости является критерий Найквиста.

По критерию Найквиста, базовая точка (-1;0) в комплексной плоскости.

Пример 1.

Рассмотрим АФЧХ разомкнутой системы в двух случаях:

1. АФЧХ первого рода, когда система в разомкнутом состоянии устойчива.

С

АУ в замкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) меньше частоты, при которой ФЧХ достигает значения -, т.е. при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза ФЧХ не должна достигать угла -.

Пример 2.

Но бывают АФЧХ другого вида, например, “клювообразные”:

Для них, как мы видим, частота w_П < w_ср, хотя замкнутая система будет устойчивой (при устойчивой разомкнутой).

Пример 3.

Д

ана система второго рода, когда разомкнутая система неустойчива.

Для АФЧХ второго рода логарифмический критерий устойчивости заключается в следующем (это общая формулировка логарифмического критерия Найквиста): САУ в замкнутом состоянии будет устойчива, если при положительных значениях ЛАЧХ разомкнутой системы разность между количеством положительных и отрицательных переходов фазочастотной характеристики через прямые (k=1,3,5,…) будет равно .

При этом для астатических систем также, как и при анализе АФЧХ, потребуются дополнительные построения: начальный участок фазочастотной характеристики следует дополнить на величину .