- •Основы теории управления
- •Историческая справка
- •Основные понятия и определения тау
- •Структурные схемы
- •Пример типовой функциональной схемы сау
- •Детектирующие свойства элементов систем
- •Математическое описание сау
- •Уравнения динамики и статики
- •Линеаризация
- •Методология математического описания сау
- •Классификация сау
- •1. Классификация по характеру динамических процессов в системе
- •1.1. По виду сигналов, протекающих по контуру системы.
- •1.2. По виду дифференциальных уравнений.
- •1.3. По условиям функционирования.
- •2. Классификация по характеристикам управления
- •2.1. По принципу управления.
- •2.2. По режимам функционирования.
- •2.3. По свойствам системы в установившемся режиме.
- •3. Классификация сау по другим признакам
- •Основные (типовые) управляющие воздействия сау
- •Принцип суперпозиции для линейных систем
- •Временные характеристики сау
- •Переходные характеристики h(t) и (t) называют временными.
- •Передаточной функцией w(p) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:
- •Частотные динамические характеристики
- •Классификация звеньев. Типовые динамические звенья
- •Апериодическое звено
- •Существует так называемое неустойчивое апериодическое звено
- •Колебательное звено
- •Общие свойства статических звеньев
- •Интегрирующие звенья
- •Идеальное интегрирующее звено
- •Реальное интегрирующее звено
- •Общие свойства интегрирующих звеньев
- •Изодромное интегрирующее звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Структурные преобразования схем сау
- •Типовые элементы структурных схем сау
- •Многоконтурные структурные схемы
- •Некоторые правила структурных преобразований
- •Изображение структурных схем в виде графов
- •Векторно-матричная форма описания многомерных элементов
- •Способ описания вход-выход
- •В общем случае каждая входная переменная связана с каждой выходной переменной. Если взаимосвязи по всем каналам линейны (линеаризованы), то в общем случае элемент можно описать следующей системой:
- •Описание сау методом пространства состояния
- •Схемы переменных состояний (спс)
- •Метод прямого программирования (базовый)
- •Методы последовательного и параллельного программирования
- •Схемы переменных состояния типовых звеньев
- •Связь между описанием “вход-выход” и мпс
- •Матрица перехода. Аналитический способ получения матрицы перехода
- •Получение изображения матрицы перехода по схеме переменных состояния
- •Получение матрицы перехода разложением в ряд
- •Устойчивость систем сау
- •Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.Е. Если
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Критерий Гурвица. Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением
- •Критерий Рауса.
- •Частотные критерии устойчивости
- •Принцип аргумента. Рассмотрим уравнение:
- •Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы
- •Критерий Найквиста
- •У замкнутой системы изменение аргумента при изменении частоты от 0 до :
- •Система неустойчивая.
- •Запас устойчивости Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица
- •Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости
- •Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания
- •Влияние параметров на устойчивость системы.
- •Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы
- •Влияние структуры и передаточного коэффициента системы на устойчивость
- •Рассмотрим влияние передаточного коэффициентасистемы на устойчивость. Учтём, что для одноконтурных систем коэффициентkвходит в выражение для афчх как множитель:
- •Анализ качества сау
- •Основные (прямые) показатели качества сау
- •Прямые методы оценки качества (методы построения переходной характеристики)
- •Операторный метод:
- •2. Частотный метод.
- •Понятие обобщенной частотной передаточной функции
- •3. Моделирование с использованием вычислительных средств
- •Косвенные методы оценки показателей качества сау
- •Корневые методы оценки показателей качества
- •Смещенные уравнения
- •Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса
- •Диаграмма Вышнеградского
- •Частотные методы Приближенное определение показателей качества по виду р() (Косвенный метод)
- •О тбрасываемая часть при частотах свышеПвлияет на начало переходной характеристикиh(t).
- •Построение вещественной частотной характеристики с использованием
- •Линейная интегральная оценка
- •Метод Кулебакина
- •Модульная интегральная оценка
- •Квадратичная интегральная оценка
- •Апериодическая интегральная оценка
- •Рассмотрим передаточную функцию типовой одноконтурной системы
- •Тогда ошибка будет зависеть только от задающего воздействия
- •Ошибки статических и астатических систем при типовых задающих воздействиях
- •Ошибка при возмущающем воздействии, не равном нулю
- •Основные понятия о синтезе систем управления
- •Особенности синтеза
- •Этапы синтеза сау
- •Т иповые законы регулирования линейных систем
- •Коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, оптимальные по критерию ивмо.
- •Синтез систем методом лачх
- •Желаемая лачх
- •Построение желаемой лачх
- •Синтез последовательных корректирующих устройств
- •Алгоритм построения сау с последовательными корректирующими звеньями
- •Синтез сау с параллельными корректирующими устройствами
- •Модальный регулятор.
- •Управляемость и наблюдаемость.
- •Импульсные сау
- •М атематическое описание дискретной системы
- •Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:
- •Свойства z-преобразования аналогичны свойствам обычного преобразования Лапласа. Приведем важнейшие из них.
- •Дискретная передаточная функция
- •Передаточная функция на основе разностных уравнений
- •Примеры типовых дискретно-непрерывных систем
- •Годографы вектора f(ejt) для устойчивой и неустойчивой системы второго порядка показаны на рисунке.
- •Описание дискретных систем в терминах пространства состояния
- •Метод прямого программирования
- •Метод переменного коэффициента усиления.
Переходные характеристики h(t) и (t) называют временными.
Зная переходную или весовую функцию САУ, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие при ННУ с помощью следующих формул:
Две рассмотренные формулы легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля, или интеграла свертки. Для реальных инерционных звеньев реакция на выходе всегда отстает от входного воздействия, т.е. .
Формы записи линейных дифференциальных уравнений.
Передаточные функции
При описании САУ в виде дифференциального уравнения, устанавливающего связь между входной и выходной величинами как в переходных, так и в установившихся режимах:
где - входные величины элемента
- выходная величина элемента
- коэффициенты уравнения, наз. параметрами
можно применить символическую (операторную) форму записи. Переход к этой форме осуществляют введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования:. Соответственнок-тую производную обозначают
Тогда исходное уравнение можно записать в виде:
или:
Введем обозначения:
- дифференциальный оператор при выходной величине, наз. собственным, или характеристическим оператором. Название обусловлено тем, что многочлен характеризует собственное движение элемента, т.е. движение при отсутствии внешних воздействий.
- дифференциальные операторы при входных
величинах, наз. операторами воздействия,
операторами входа.
Тогда
Другая применяемая форма записи дифференциальных уравнений основана на применении преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, считая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю. Получим:
Сравнивая с уравнением в символической форме, замечаем их полную аналогию. Разница только в значении символа р: в одном случае это операция дифференцирования, в другом – комплексное число.
Передаточной функцией w(p) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:
Передаточная функция также равна отношению входного оператора к собственному оператору:
Как видно, передаточная функция представляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через линейный элемент.
Физического смысла у передаточной функции нет.
Часто рассматривают передаточную функцию по управлению
и передаточную функцию по возмущению
Рассмотрим основные свойства и особенности передаточных функций.
Передаточная функция элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Лапласа:
Учитывая связь между функцией веса и переходной функцией, запишем связь между переходной функцией и передаточной функцией:
Для реальных элементов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь
у которой степень многочлена числителя меньше или равна степени многочлена знаменателя, т.е. . Все коэффициенты передаточной функции – действительные числа, характеризующие параметры элемента.
Для элементов, описываемых передаточной функцией невысокого порядка
(n < 3), принято записывать передаточную функцию в стандартной форме. При этом передаточную функцию преобразовывают таким образом, чтобы свободный член знаменателя был равен единице. При этом свободный член числителястановится равным передаточному коэффициенту и его выносят за скобки:, где
Передаточная функция является функцией комплексной переменной, которая может при некоторых значениях переменнойр обращаться в ноль или бесконечность. Значение переменной р, при котором передаточная функция обращается в ноль, называют нулём, а значение, при котором обращается в бесконечность – полюсом передаточной функции. Очевидно, что нулями передаточной функции являются корни полинома , а полюсами - корни полинома.
Свойства преобразования Лапласа
Операционное исчисление – совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными и непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных.
Сущность метода. Пусть задана некоторая функция , действительной переменной, причем такая, что для нее существует преобразование Лапласа (-преобразование):
где - оригинал
- изображение
- комплексная переменная.
Свойство линейности.
Свойство дифференцирования и интегрирования оригинала.
где
Обратное преобразование Лапласа.