Влияние параметров на устойчивость системы.

D-разбиение по одному параметру

Теория устойчивости позволяет не только определить устойчивость данной системы, но и влияние некоторых параметров системы на ее устойчивость. В качестве таких варьируемых параметров обычно рассматривают коэффициенты передачи и постоянные времени управляющего устройства, которые можно целенаправленно изменять при настройке системы. Иногда допустимые пределы изменения определяют и для параметров объекта (если последние изменяются при работе системы). Варьируемыми параметрами могут служить так же коэффициенты характеристического уравнения, которые, как известно, однозначно связаны с передаточными коэффициентами и постоянными времени элементов системы.

Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения областей устойчивости. Областью устойчивости (ОУ) называют область в пространстве варьируемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Область устойчивости выделяет из всех возможных значений варьируемых параметров лишь те значения, при которых система устойчива. Поверхность, ограничивающая область устойчивости, называется границей области устойчивости.

Например, посмотрим ОУ, построенную в пространстве двух коэффициентов характеристического уравнения и. Каждой точке, находящейся ниже заштрихованной кривой, например, точке, соответствуют только левые корни, например, точкии. Любой точке, находящейся выше кривой (точке), обязательно соответствует хотя бы один действительный корень или пара комплексных корней, расположенных справа на плоскости корней (точкии). Границей ОУ в данном примере является заштрихованная кривая. Каждой точке этой кривой, например, точке, соответствует пара чисто мнимых корней (точкии).

Граница ОУ в принципе может быть найдена путём многократного применения одного из критериев устойчивости, при различных значениях варьируемых параметров. Но такой путь связан с большим объёмом вычислений. Эффективным способом отыскания границ ОУ является метод D-разбиения, разработанный советскими учеными А.А. Соколовым и Ю.И. Неймарком.

Сущность метода D-разбиения заключается в следующем. Предположим, что известно характеристическое уравнение системы:

(*)

Расположение всех n корней характеристического уравнения на комплексной плоскости зависит от значений коэффициентов. В общем случае в пространстве варьируемых коэффициентов, например,и, существуют такие значения коэффициентов, при которыхl корней расположены справа, а (n-l) корней – слева от мнимой оси. Совокупность всех таких значений образует в пространстве коэффициентов область, которую можно обозначить D(n-l; l). Очевидно, что могут существовать области и с другим распределением корней: D(n-l-1; l+1), D(n-l-2; l+2) и т.д. Область D(n; 0) является ОУ.

Процесс построения в пространстве параметров ( или коэффициентов) областей с различным распределением корней называется D-разбиением. Линии, разграничивающие эти области, называются кривыми D-разбиения.

Переход из одной области в другую область пространства коэффициентов соответствует переходу одного действительного или пары комплексных корней через мнимую ось. Следовательно, каждой точке, лежащей на границе между двумя областями, соответствуют либо нулевой корень , либо пара чисто мнимых корней . Поэтому кривуюD-разбиения можно рассматривать как отображение мнимой оси плоскости корней. Указанная особенность кривых D-разбиения используется при отыскании их уравнений. Для этого в уравнение (*) подставляют илии разрешают уравнение относительно варьируемых параметров. Совокупность значений варьируемых параметров, соответствующих всем возможным значениямw (от до), даёт все точки кривойD-разбиения. Выделение области D(n; 0) среди остальных областей производят при помощи специальной процедуры – штриховки кривых D-разбиения.

Построение области устойчивости по одному параметру. Предположим, что в системе есть некоторый параметр (коэффициент k), который можно изменять, который входит линейно в характеристическое уравнение.

Тогда характеристическое уравнение можно разбить на 2 части:

где B(р) – члены характеристического уравнения, не содержащие параметр k, а A(p) – члены характеристического уравнения, содержащие коэффициент k линейно.

На комплексной плоскости строится кривая с.

Так как составляющая всегда чётная, а– нечётная функция переменнойw, то кривая D-разбиения всегда симметрична относительно действительной оси . Поэтому при построении области устойчивости достаточно найти лишь одну ветвь кривойD-разбиения, соответствующую, например, положительным значениям w, а вторую ветвь можно нанести как зеркальное отражение первой.

Кривая D-разбиения делит плоскость параметра k на несколько областей, соответствующих различным вариантам расположения корней. Выделить из этих областей ОУ D(n; 0) можно при помощи штриховки. Правило штриховки основано на том, что кривая D-разбиения является отображением мнимой оси плоскости корней. В системе координат ОУ находится слева от мнимой оси, и ось принято штриховать слева (при движении вдоль оси отдо). В теории функций комплексного переменного доказано, что в плоскости варьируемого параметра ОУ также находится слева от кривойD-разбиения. Соответственно кривую D-разбиения также штрихуют слева (при движении вдоль кривой от до).

После нанесения штриховки выявляют область с наибольшим числом левых корней. При этом учитывают, что каждому переходу с заштрихованной стороны кривой D-разбиения на незаштрихованную сторону соответствует переход одного корня из левой полуплоскости в правую, а пересечению кривой D-разбиения в обратном направлении соответствует переход одного корня из правой полуплоскости в левую. Переходя последовательно из одной области в другую, можно выявить область с наибольшим числом левых корней. После этого при помощи одного из критериев необходимо проверить, является ли выявленная область областью устойчивости, т.е. проверить, все ли корни левые.

В практических задачах параметр является действительной величиной, и его допустимые пределы изменения определяются не всей областьюD(n;0), а только отрезком действительной оси P(w), заключённой внутри области D(n;0).

Если подобных областей разбиения не оказывается, то система считается структурно неустойчивой и вывести ее в установившееся состояние возможно, только лишь изменив структуру.