- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Определение 63
Директрисой эллипса, отвечающей фокусу , называется прямая, перпендикулярная большей главной оси такая, что отношение расстояний от точек эллипса до фокуса и до этой прямой постоянно и равно .
Замечание
Если эллипса является окружностью, то директрис нет.
Замечание
Если эллипс не является окружностью, то для каждого эллипса существует единственная директриса.
Замечание
У эллипса, не являющегося окружностью, существует две директрисы.
Замечание
Из выведенных уравнений директрис видно, что директрисы не пересекают эллипс.
Если уравнение эллипса в канонической системе координат , то уравнения директрис .
Докажем, что если отношение расстояний от точки до фокуса и его директрисы равно , то точка принадлежит эллипсу.
Для доказательства рассмотрим фокус . Расстояние от до равно , где - координаты точки . Расстояние от до директрисы равно . Так как отношение , то
То есть точка принадлежит эллипсу. Обозначим расстояние от фокуса эллипса до его директрисы через . Тогда
Пусть на плоскости задана прямая и точка. Тогда найдется эллипс, для которого указанная точка будет фокусом, а указанная прямая будет директрисой, соответствующей этому фокусу.
Выберем систему координат так: ось проходит через данную нам точку и перпендикулярно данной прямой. Точку пересечения оси с данной прямой обозначим через . Отметим на оси две точки и такие, что и и точка лежит между точками и . Середину отрезка обозначим через является началом координат.
Заметим, что точка лежит между точками и , так как
Длина . Длина . Найдем длину
. Обозначим . Для эллипса, заданного уравнением . Точка совпадает с фокусом, а заданная прямая совпадает с директрисой этого фокуса, т.к. уравнение этой прямой .
Уравнение эллипса в полярных координатах
Пусть эллипс задан каноническим уравнением .
- фокус с координатами , его директриса – прямая, заданная уравнением , точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда , где , - расстояние от точки до прямой . Выберем полярную ось через точки и . Тогда расстояние от точки до начала полярной системы координат . Вектор составляет угол с полярной осью. Расстояние от точки до директрисы равно , где - расстояние от фокуса до директрисы. Точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда .
Гипербола Определение 64
Гиперболой называется множество точек плоскости таких, что абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, постоянна. Обозначим указанную разность через, а расстояние между фокусами через .
Замечание
Если и совпадают и , то точек, удовлетворяющих такому условию на плоскости нет. Если и совпадают и , то любая точка плоскости удовлетворяет указанному условию. Поэтому будем считать, что фокусы и являются разными точками.
Замечание
Обозначим расстояние от точки до через , а расстояние от до через . Так как и , то
Введем систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы и , начало координат возьмем в центре отрезка . Ось проведем перпендикулярно оси через начало координат. Тогда координаты точки , точки . Пусть координаты . Тогда . принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда
Обозначим величину , . Тогда уравнение примет вид . Проверим, что каждая точка, удовлетворяющая уравнению принадлежит гиперболе. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению . Тогда . Расстояние от до равно
Так как из уравнения следует, что либо либо , то
Расстояние от до равно
. Получили, что принадлежит гиперболе.