Парабола Определение 69
Параболой называется
множество точек плоскости, для которых
расстояния до фиксированной точки
и до фиксированной прямой
равны. Точка
называется фокусом параболы, а прямая
- директрисой параболы.
Замечание
Если точка
принадлежит прямой
,
то множество таких точек – прямая,
перпендикулярная
и проходящая через
.
Поэтому будем считать, что
.
Выберем систему координат:
Расстояние
от
до
равно
.
Расстояние от
до фокуса
равно
.
Так как
,
то
Проверим, что
каждая точка
удовлетворяющая уравнению
принадлежит этой параболе. Расстояние
от точки
до
равно
.
Расстояние от
точки
до прямой
равно
.
Эти расстояния равны, значит точка
принадлежит параболе.
Определение 70
Уравнение вида
(
)
называется каноническим уравнением
параболы.
Определение 71
Система координат, в которой парабола имеет каноническое уравнение, называется канонической системой координат.
Свойства параболы
1) Парабола имеет одну ось симметрии. Точка пересечения этой оси с параболой называется вершиной параболы.
2) Парабола не имеет центра симметрии.
Определение 72
Для параболы эксцентриситет полагают равным 1.
Полярное уравнение параболы.
Поместим начало
координат в фокус параболы
.
Тогда расстояние до фокуса равно
,
а расстояние до директрисы равно
.
Эти два расстояния равны, т.е.
Теорема 24
Пусть на плоскости
заданы прямая
и точка
.
Тогда множество точек, для которых
отношение расстояний до точки
и до прямой
равно
является
1) эллипсом при
;
2)
гиперболой, при
;
3)
параболой, при
.
Исследование уравнений второго порядка
Определение 73
Линией второго порядка называется линия, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:
,
где
.
Пусть в некоторой
декартовой системе координат линия
задана уравнением
.
Найдем систему координат, в которой
линия задается более простым уравнением.
Для этого будем рассматривать переходы
от одной системы координат к другой
следующего вида:
Поворот на угол
:
,
- координаты в новом базисе.
Перенос начала системы координат:
Посмотрим как меняется уравнение при повороте:
Выберем угол
поворота так, чтобы
.
Если
,
то
,
Если
,
то
,
т.е.
.
Далее можно найти
и
(
).
При выбранном
уравнение имеет вид
Перейдем к следующей системе координат посредством сдвига:
1 Случай
(т.е.
и
)
Если
(
),
то
Так как
и
,
то обозначим
,
а
.
Получим уравнение
вида
.
Это уравнение эллипса.
Если мы хотим
получить каноническое уравнение эллипса,
то требуется, чтобы коэффициент при
был меньше, чем при
.
При
можно сделать поворот системы координат
на
и получить каноническое уравнение
эллипса.
Если
,
то
,
где
и
.
Точек плоскости, удовлетворяющих этому уравнению, не существует. Говорят, что данное уравнение описывает мнимый эллипс.
Если
и
,
то
Этому уравнению
удовлетворяет одна точка с координатами
и
.
Говорят, что данное уравнение описывает
вырожденный эллипс.
Если
и
,
то
,
где
либо
и
,
либо
и
.
Если
и
,
то, обозначив
и
,
получим уравнение
.
Это каноническое уравнение гиперболы.
Если
и
,
то обозначим
и
.
Получим уравнение
.
Перейдем к новой системе координат
посредством поворота на угол
.
Получим уравнение
.
Это тоже каноническое уравнение
гиперболы.
Если
и
,
то уравнение имеет вид
.
Обозначим
,
.
Тогда
Уравнение описывает пару пересекающихся прямых
и
.
Точка пересечения прямых
.