Определение 19

Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Теорема 9

Три вектора в пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда они не компланарны.

Доказательство

Если вектора линейно независимы, и они компланарны, то любые два из них неколлинеарны.

Обозначим эти вектора , и . Проведем через точку прямые, параллельные векторам и . Они пересекут прямые на которых лежат вектора и в точках и . По определению сложения векторов . Так как коллинеарен , то найдется такое, что . Так как коллинеарен , то найдется такое, что . Получим . Перенесем в одну сторону: . Получим, что наши три вектора линейно зависимы, т.е. получим противоречие с предположением о компланарности.

Если векторы , , не компланарны, то покажем, что они линейно независимы. Допустим противное, т.е. существуют , , такие, что и . Пусть . Тогда . По определению операции сложения векторы , , , отложенные из одной точки лежат в одной плоскости.

То есть векторы , , компланарны. Противоречие.

Определение 20

Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов называется базисом, если для любого вектора существуют такие, что .

Определение 21

Если - базис в пространстве , то коэффициенты в разложении называются координатами вектора в базисе .

Теорема 10

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом.

Доказательство

Допустим существует два разложения:

Тогда

Так как линейно независимы, то

Получили .

Теорема 11

При сложении векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты домножаются на это число.

Доказательство

Рассмотрим два произвольных вектора и . - координаты вектора , - координаты вектора , - базис.

По определению координат вектора и единственности координат, координаты вектора равны .

Аналогично, если , то

Координаты равны .

Теорема 12

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Доказательство

Если какие-то три вектора компланарны, то по доказанному ранее они линейно зависимы. Тогда и все четыре вектора линейно зависимы. Пусть никакие три вектора не компланарны. Отложим их от одной точки . Обозначим их .

Проведем через конец вектора (точку ) плоскости, параллельные плоскостям, проведенным через любую пару векторов . Точки пересечения с прямыми, на которой лежат вектора обозначим соответственно . Существуют ненулевые числа такие, что . При этом . Получили, что или . Значит векторы - линейно зависимы.

Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)

Верны следующие утверждения:

1) Любые три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве. 2) Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости. 3) Любой ненулевой вектор образует базис на прямой.

Доказательство

Докажем первый пункт. По доказанному любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Обозначим эти вектора . По теореме 12 для любого вектора система линейно зависима, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация . Если , то и должно выполняться . Так как - линейно независимы, то . Тогда . Значит - базис. Все остальные пункты доказываются аналогично.

Определение 22

Системой координат (аффинной системой координат) называется точка и базис . Точка называется началом системы координат.

Определение 23

Координатами точки в системе координат называются координаты вектора .

Замечание

Если в пространстве даны две точки и , то координаты вектора в системе координат равны разности координат точек и .

Все аналогичные определения делаются для плоскости.

Определение 24

Углом между векторами называется угол между любыми двумя их экземплярами, отложенными от одной точки.

Определение 25

Декартовой системой координат называется система координат, в которой базис состоит из единичных векторов, попарно перпендикулярных друг другу.

Определение 26

Пусть в пространстве задана система координат . Тогда множество точек таких, что коллинеарен называется координатной прямой вектора . Координатная прямая в направлении, задаваемом вектором называется координатной осью вектора . Координатной плоскостью векторов и называется множество точек таких, что , и - компланарны.

Определение 27

Пусть в пространстве задана система координат . Проекцией вектора на координатную прямую вектора называется вектор , где определяется из разложения по базису : . Проекцией точки на координатную прямую вектора называется точка такая, что является проекцией вектора на эту прямую.

Замечание

В декартовой системе координат проекция вектора может быть получена опусканием перпендикуляра из точки на координатную прямую и вычисляема по формуле , где - угол между и координатной прямой.