Теорема 14
Проекцией суммы векторов является сумма проекций этих векторов. Проекцией произведения вектора на число является произведение проекции этого вектора и этого числа.
Доказательство
Пусть проекциями
векторов
и
на координатную прямую
являются векторы
и
соответственно. Так как при сложении
векторов из координаты складываются,
то проекцией вектора
на координатную прямую является вектора
.
Аналогично доказываются утверждение
про произведение.
Определение 28
Проекцией вектора
на прямую называется вектор
,
где точки
и
являются основаниями перпендикуляров,
опущенных из точек
и
на эту прямую.
Такую проекцию называют ортогональной.
Замечание
Проекции векторов на координатные прямые в декартовой системе координат являются ортогональными.
Определение 29
Если на прямой
направление задается единичным вектором
,
то значение проекции вектора
называется число
такое, что
является ортогональной проекцией
вектора
.
Теорема 15
Значение проекции
вектора на прямую с единичным вектором
,
задающим направление может быть вычислено
по формуле
,
где
- угол между векторами
и
.
Доказательство очевидно
Замечание
Из вышедоказанных теорем следует, что значение проекции суммы векторов равно сумме проекций, значение проекции произведения вектора на число равно произведению проекции вектора на это число.
Определение 30
Скалярным
произведением векторов
и
(на плоскости или в пространстве)
называется число
,
где
- угол между векторами. Скалярное
произведение векторов обозначается
.
Замечание
Если хотя бы один
из сомножителей является нулевым
вектором, то скалярное произведение
равно
.
Замечание
тогда и только
тогда, когда либо векторы перпендикулярны,
либо один из них равен
.
Определение 31
Векторы
и
называются ортогональными, если
.
Теорема 16 (свойства скалярного произведения)
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1)
2)
3)
причем
только если
.
Замечание
Из свойств 1) и 2) следуют свойства:
Для доказательства проведем выкладки:
Доказательство.
1) Очевидно (следует из определения).
2) Так как
и
является линейно по своему аргументу,
то
.
3) Так как
,
то
и
,
т.е. когда
.
Определение 32
Базис
называется ортонормированным базисом,
если
Замечание.
Базис в декартовой системе координат является ортонормированным.
Теорема 17
Пусть
- ортонормированный базис.
Тогда
.
Доказательство.
Используем свойства скалярного произведения.
Следствие.
В ортонормированном
базисе
длина вектора
может быть вычислена по формуле
.
Доказательство.
Следствие.
Косинус угла
между векторами
и
в ортонормированном базисе
может быть вычислен по формуле
Определение 33
Ортом вектора
называется вектор
,
сонаправленный с
и такой, что
.
Утверждение.
В ортонормированном
базисе
для вектора
орт вектора
может быть найден по формуле
Определение 34
В ортонормированном
базисе
углы, которые орт
составляет с векторами
,
называются направляющими углами, а
косинусы этих углов называются
направляющими косинусами. Обозначаются
Замечание 1.
Так как
- ортонормированный базис и
,
то
Замечание 2.
Направляющие
косинусы являются координатами орта
в ортонормированном базисе
.
.
Замечание 3.
Направляющие
косинусы вектора
в ортонормированном базисе могут быть
вычислены по формуле:
Под направляющими косинусами вектора подразумеваются направляющие косинусы его орта.
Векторы и смешанное произведение
Определение 35
Упорядоченная
тройка некомпланарных векторов называется
правой, если при отложенных векторах
из одной точки из конца вектора
поворот вектора
к вектору
по наименьшему углу виден против часовой
стрелки. В противном случае тройка
векторов называется левой.
(правая тройка –
,
левая тройка –
)
Замечание.
Если
- правая тройка векторов, то
и
- тоже правые тройки, а
,
и
- левые.
Определение 36
Две тройки векторов будем называть одинаково ориентированными, если они одновременно либо правые, либо левые.
Замечание.
Все некомпланарные тройки векторов распадаются на два класса – класс правых троек и класс левых троек.
Определение 37
Говорят, что в пространстве задана ориентация, если выбран из вышеупомянутых классов. Обычно работать будем в пространстве, где ориентация задается правой тройкой векторов.
Определение 38
Пусть в пространстве
задана ориентация правыми тройками.
Векторным произведением векторов
и
называется вектор
,
такой что
1)
,
если
и
коллинеарны
2) если
и
неколлинеарны, то
,
где
угол между
и
и
3)
тройка векторов
имеет такую же ориентацию, как и
пространство.
Геометрические свойства векторного произведения
равен площади
параллелограмма, натянутого на векторы
и
.