- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Определение 65
Уравнение вида , где называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола имеет каноническое уравнение называется канонической системой координат.
Свойства гиперболы
Пусть в канонической системе координат гипербола имеет уравнение .
1) Гипербола обладает двумя осями симметрии (главные оси). Одна ось симметрии – ось , другая – ось . Одна из осей симметрии – фокальная ось (ось, проходящая через фокусы).
2) Точка пересечения осей симметрии является точкой симметрии гиперболы.
3) Из уравнения получаем, что в полосе точек гиперболы нет.
4) Из уравнения следует, что , т.е. . Значит гипербола лежит между прямыми и , как показано на рисунке:
Определение 66
Точки пересечения фокальной оси с гиперболой называются вершинами гиперболы.
Прямые и являются асимптотами гиперболы.
Рассмотрим прямую и часть гиперболы , где . Тогда для прямой , для гиперболы
Аналогично для остальных частей гиперболы () и прямой .
Определение 67
Число называется эксцентриситетом гиперболы. Так как , то .
Рассмотрим прямую , где Расстояние от точки до этой прямой равно . Расстояние от точки до фокуса равно и до точек гиперболы . Отношение расстояния от точки гиперболы до фокуса и до прямой равно . Это отношение постоянно, когда . Таким образом отношение расстояний от точек гиперболы до фокуса и от точек гиперболы до прямой постоянно и равно .
Определение 68
Прямая, перпендикулярная фокальной оси, пересекающая отрезок между фокусами и , отстоящая от фокуса на расстояние называется директрисой гиперболы для фокуса . Директриса фокуса в канонической системе координат имеет уравнение . Директриса фокуса в канонической системе координат имеет уравнение .
Проверим, что точка, для которой отношение расстояний до фокуса и до директрисы этого фокуса равно принадлежит гиперболе.
Пусть точка имеет координаты . Расстояние до фокуса равно . Расстояние до директрисы равно . Так как , то
Получили, что точка принадлежит гиперболе. Аналогично доказывается для второго фокуса.
Пусть задана прямая , точка и . Тогда найдется гипербола, для которой точка является фокусом, а прямая директрисой относительно этого фокуса, является эксцентриситетом гиперболы. Построим гиперболу. Для этого выберем систему координат. Ось проведем через перпендикулярно прямой . Точку пересечения оси и прямой обозначим через . Возьмем точку на отрезке так, чтобы и точку на оси такую, что . Точка лежит по другую сторону от , чем точка . Выберем началом системы координат середину отрезка . Обозначим начало координат . Очевидно, что точка лежит по одну сторону от прямой , что и точка (так как ). Обозначим , . Направление оси выберем так, чтобы точка имели координаты .
Получили, что или . Найдем :
Получили, что уравнение прямой имеет вид . Для гиперболы точка является фокусом, а прямая является директрисой, соответствующей этому фокусу.
Полярное уравнение гиперболы
Пусть в канонической системе координат уравнение гиперболы . Введем систему координат так: началом системы координат является точка , а полярной осью является ось , где . Тогда для правой ветви гиперболы имеем: если точка принадлежит правой ветви гиперболы, то расстояние от до директрисы равно расстоянию от фокуса до директрисы плюс . Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через . Тогда
Если принадлежит левой ветви гиперболы, то расстояние от точки до директрисы равно .