Аудиторные задания

№11. Построить прямую 2x – 3y – 9=0 (тремя способами).

№12. Даны вершины треугольника А(–1; 3); В(3; –2) и С(5; 3) составить уравнения:

а) трёх его сторон;

б) медианы, проведённой из точки В;

в) высоты, опущенной из точки С на АВ;

г) прямых проходящих через вершины треугольника и параллельных противоположным сторонам.

Ответ: а) 5x+4y – 7=0; 5x – 2y – 19=0; y – 3=0;

б) 5x+y – 13=0; в) 4x – 5y – 5=0;

г) 5x – 2y+11=0; y+2=0; 5x+4y – 37=0.

№13. Через т. М(2; 5) провести прямую так, чтобы отрезок, заключённый между осями координат, делился в этой точке пополам.

Ответ: 10x+4y – 40=0.

№14. Даны стороны треугольника АВ: x+3y – 7=0; ВС:

4x – y – 2=0; АС: 6x+8y – 35=0. Найти длину высоты, проведённой из вершины В.

Ответ:1,3.

№15. Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей угол 45⁰ с прямой y=2x+5.

Ответ: 3x+y=0.

№16. Найти уравнение прямой, параллельной прямой

12x+5y – 52=0 и отстоящей от неё на расстоянии 2ед.

Ответ: 12x+5y – 26=0; 12x+5y – 78=0.

№17. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

3x – 4y+5=0 и 4x+3y – 7=0 и одна из его вершин А(–2; 1). Найти уравнения двух других сторон прямоугольника.

Ответ:3x – 4y+10=0; 4x+3y+5=0.

№18. Даны точки А(–6; 0) и В(0; 8). Через середину отрезка АВ провести прямую отсекающую на оси ОХ отрезок втрое больший, чем на оси OY.

Ответ: x+3y – 9=0.

№19. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x – 2y – 7=0. Вычислить площадь квадрата.

Ответ: 5кв.ед.

Домашние задания

№20. По данным уравнениям построить прямые (тремя способами): а) 2x – y+3=0; б) 5x+2y – 8=0; в) 3x+8y+16=0;

г) 3x – y=0.

№21. Найти точки пересечения прямых:

а) 3x – 5y – 21=0 и 2x – y – 7=0; б) x+3y – 5=0 и 3x+9y+7=0.

Ответ: а) (2; –3); б) прямые параллельны.

№22. Из пучка прямых, определяемых уравнением y+3=k(x – 2) выделить прямую, проходящую через точку А(–2; 5).

Ответ: 2x+y – 1=0.

№23. Даны две вершины треугольника А(–2; 1) и В(3; –4) и точка Н(5; –1) пересечение высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

Ответ: x+y+1=0; 7x – 2y – 29=0; 2x+3y+1=0.

№24. Составить уравнение прямой, зная, что расстояние от нее до начала координат равно , а угол между перпендикуляром, опущенном из начала координат на прямую, и осью ОХ равен .

Ответ: х – у+2=0.

№25. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(10; –6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью 15 кв.ед.

Ответ: 6x+5y–30=0 и 3x+10y+30=0.

№26. Через точку М(3; 5) провести прямую, отсекающую на всех осях координат отрезки равной величины.

Ответ: x+y – 8=0.

№27. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из стон которого лежит на прямой х – 2у – 7=0. Найти площадь этого квадрата.

Ответ: 5 кв.ед.

№28. Даны две вершины треугольника А(2; –2), В( –6; 2) и точка О(1; 2) пересечения высот. Найти координаты третьей вершины С.

Ответ: (2; 4).

Дополнительные задания

№29. Вычислить площадь треугольника, заключённого между осями координат и прямой 2x+7y – 14=0.

Ответ: 7 кв.ед.

№30. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

М(5; –4) перпендикулярно прямой 3x+2y – 7=0.

Ответ:2x – 3у – 22=0.

№31. Прямая задана уравнением: 5x+y – 4=0. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; –2) и наклонённую к данной под углом 45.

Ответ: 2x+3y+4=0 или 3х – 2y – 7=0.

№32. Определить расстояние между параллельными прямыми 3x+y – 3=0; 6x+2y+5=0. Ответ:.

№33. Прямая задана уравнением 2x+5y – 1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М( –1;3) и: а) параллельно данной; б) перпендикулярно данной.

Ответ: 2x+5y – 13=0; 5x – 2y+11=0.

№34. Даны середины сторон треугольника P(1; 2), Q(5; –1), R( –4; 3). Составить уравнения его сторон.

Ответ: 4x+9y – 22=0; x+5y=0; 3x+4y=0.

№35. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1) и параллельно прямой y=3x – 4.

Ответ:3x – у – 5=0.

№36. Дан треугольник с координатами вершин А(1; 2); В(4; 3); С(1; 3). Составить уравнения сторон.

Ответ: x – 3y+5=0; y=3; x=1.

№37. Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и наклонённых к оси ОХ под углом: а) 30; б)45; в)60; г)90.

Ответ: а) ; б) y=x; в) y=; г) x=0.

№38. Найти точку, симметричную точке А(1; 7) относительно прямой 2x – 5y+4=0.

Ответ: (5; –3).

№39. Вычислить площадь треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями: x – 3y+11=0; 5x+2y – 13=0; 9x+7y – 3=0.

Ответ: 17 кв.ед.

№40. Даны уравнения сторон треугольника 4x – 3y – 9=0; 3x+4y+12=0; x – 2y+4=0. Определить координаты вершин треугольника.

Ответ: (0; –3); ( –4;0); (6; 5).

№41. Дан треугольник координатами вершин А( –8; 3); В(8; 5); С(8; –5). Составить уравнения высот и показать, что они пересекаются в одной точке.

Ответ: 8x+y – 59=0; 2x – y – 11=0; y – 3=0; A(7; 3).

№42. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных своими уравнениями: 4x – 3y+3=0; 3x+4y+4=0; x – 7y+18=0.

Ответ: 90⁰; 45⁰; 45⁰.

№43. Даны две стороны параллелограмма x – y+1=0;

3x+2y – 12=0 и точка O(6; 4) — пересечение диагоналей. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

Ответ: x – y – 5=0; 3x+2y – 40=0.

№44. Составить уравнения прямых, проведённых через середины сторон треугольника с вершинами А(3; 4); В(3; 2); С( –1; 2).

Ответ: x – 2y+3=0; x=1; y=3.

№45. Написать уравнения сторон и высоты треугольника с вершинами P( –4; 3); Q(2; 5); R(6; –2).

Ответ: y=x+; y=x+; y=x+1; y=.

№46. Записать уравнения прямых, на которых лежат стороны равнобедренной трапеции, зная, что основания её равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с большим основанием угол в 60⁰. Большее основание лежит на оси абсцисс, а ось симметрии трапеции — на оси ординат.

Ответ: y=0; y=2; y=x+5; y= –x+5.

№47. Записать уравнения прямых, которые проходят через точку А(3; –1) и параллельны: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисе первого координатного угла; г) прямой y=3x+9.

Ответ: y= –1; x=3; y=x – 4; y=3x – 10.

№48. Луч света направлен по прямой . Найти координаты точки М встречи луча с осью ОХ и уравнение отражённого луча.

Ответ: M(6; 0); .

№49. Точка А( –2; 3) лежит на прямой, перпендикулярной к прямой 2x – 3y+8=0. Записать уравнение этой прямой.

Ответ: 3x+2y=0.

№50. Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у – 65=0 и 5х – 12у+26=0. Найти площадь квадрата.

Ответ: 49 кв.ед.

№51. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

М(4; –3) и образующей с осями координат треугольник площадью 3 кв.ед.

Ответ: или .

№52. Вычислить величину угла между прямыми 3x+4y – 2=0 и 8x+6y+5=0. Доказать, что точка А лежит на биссектрисе этого угла.

№53. Найти длины сторон треугольника и его внутренние углы, если известно, что стороны лежат на прямых: x – 6y+5=0; 5x – 2y – 3=0; x+y – 9=0.

Замечание. Если: c²>a²+b² — тупоугольный; c²=a²+b² — прямоугольный; c²<a²+b² — остроугольный.

Ответ: АВ=; ВС=; АС=;

tgA=; tgB=; tgC=.