Аудиторные задания

№54. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5; 0) и В(1; 4), если центр её лежит на прямой х+у – 3=0.

Ответ: (х – 2)²+(у – 1)²=10.

№55. Составить уравнение эллипса, зная, что:

1) его полуоси соответственно равны 7 и 6;

2) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось 26;

3) большая полуось равна 5 и расстояние между фокусами 8.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

№56. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет 1,4. Составить уравнение гиперболы.

Ответ: .

№57. Составить уравнение параболы, зная, что:

1) парабола симметрична относительно оси ОХ, проходит через точку А(–3; 6) и начало координат;

2) парабола симметрична относительно оси ОY, проходит через точку В(6; 3) и начало координат.

Ответ: 1) у²= – 12х; 2) х²=12у.

№58. Составить уравнение эллипса, зная, что его большая полуось, а=12, =0,5. Найти расстояние между фокусами эллипса.

Ответ: ; 2с=12.

№59. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты имеют уравнения , а расстояние между фокусами 20.

Ответ: .

№60. Найти координаты фокусов и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением: 1) у²= – 6х; 2) х²=4у.

Ответ: 1) ; 2) F(0; 1), y= – 1.

№61. Составить уравнение эллипса проходящего через точки А и В.

Ответ: .

№62. На параболе у²=16х найти точку, фокальный радиус которой равен 5.

Ответ: (1; 4), (1; –4).

№63. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

Ответ: 60^˚.

Домашние задания

№64. Составить уравнение окружности, если известно, что концы одного из диаметров её имеют координаты (2; –4) и (–6; 2). Лежат ли на этой окружности точки А(2; –1), В(–3; 4), С(1; 2), D(2; 1), E(0; 3), F(–2; 4)?

Ответ: (х+2)²+(у+1)²=25. Точки А, С, D, E лежат внутри круга; точка В – вне круга; точка F на окружности.

№65. Составить уравнение эллипса, если:

1) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8;

2) малая полуось равна 12 и эксцентриситет равен ;

3) эксцентриситет равен 0,6, расстояние между фокусами 6;

4) сумма полуосей равна 18 и расстояние между фокусами 12.

Ответ: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

№66. Составить уравнение гиперболы, если уравнения асимптот гиперболы , а расстояние между фокусами 2с=10.

Ответ: .

№67. Найти уравнение асимптот гиперболы 2х² – 3у²=6.

Ответ: .

№68. Найти эксцентриситет гиперболы 25х² – 36у²=900.

Ответ: .

№69. Составить уравнение параболы, если:

1) фокус находится в точке F(5; 0), директриса будет осью ординат и ось симметрии — ось абсцисс;

2) фокус находится в точке F(0; 5), директриса служит осью абсцисс и ось симметрии — осью ординат.

Ответ: 1) у²=20х – 25; 2) х²=20у – 25.

№70. Найти координаты фокусов и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением: 1) у²= 6х; 2) х²= –4у.

Ответ: 1) ; 2) F(0; –1), y= 1.

Дополнительные задания

№71. Составить уравнение окружности, если:

1) центр её находится в точке С(3; –5), а радиус равен 4;

2) центр находится в точке С(0; 2), а радиус равен 3;

3) центр её находится в точке С(–3; 0), а радиус равен семи единицам длины;

4) центр находится в точке С(1; 3) и окружность проходит через точку М(–4; 5);

5) центр её находится в точке С(0; –3), а радиус равен 0,7.

Ответ: 1) (х – 3)²+(у+5)²=16; 2) х²+(у – 2)²=9; 3) (х+3)²+у²=49;

4) (х – 1)²+(у – 3)²=29; 5) х²+(у+3)²=0,49.

№72. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки (0; 1), (–2; 0), и (0; –1).

Ответ: .

№73. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке (–1; –2) и проходящей через точку (3; 4).

Ответ: (х+1)²+(у+2)²=52.

№74. Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке (6; 0) и проходящей через точку (9; 9).

Ответ: (х – 21)²+у²=225.

№75. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки А(6; 4) и В(–8; 3).

Ответ: х²+4у²=100.

№76. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы 9х² – 4у²=36 и прямой 9х+2у – 12=0.

Ответ: 3 кв.ед.

№77. Орбита земного шара — эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Зная эксцентриситет этого эллипса =0,017 и полуось а= км, найти, насколько кратчайшее расстояние от Земли до Солнца (оно бывает в декабре) короче длиннейшего (в июне).

Ответ: км.

№78. Парабола у²=х отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду длина которой равна . Составить уравнение этой прямой.

Ответ: у= ± х.

№79. Равносторонняя гипербола задана уравнением х² – у²=8. Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку А(4; 6).

Ответ: .

№80. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY и проходящей через точки пересечения прямой х+у=0 и окружности х²+у²+8у=0.

Ответ: х²= –4у.

№81. Составить уравнение параболы, если её фокус находится в точке пересечения прямой 4х – 3у – 4=0 с осью OX.

Ответ: у²= 4х.

№82. На параболе у²=32х найти точку, расстояние от которой до прямой 4х+3у+10=0 равно 2.

Ответ: (0; 0), (18; –24).

№83. На параболе у²=8х найти точку, расстояние которой от директрисы параболы равно 4.

Ответ: (2; 4), (2; –4).