Аудиторные задания

Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:

№84. 9х²+4у² – 54х – 32у+109=0.

Ответ: .

№85. х² – у² – 4х+2у+7=0.

Ответ: .

№86. х² – 9у²+2х – 36у – 44=0.

Ответ: .

№87. у=х²+4х+5.

Ответ: (х+2)²=у – 1.

Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:

№88. Ответ: эллипс.

№89. Ответ: астроида.

Домашние задания

Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:

№90. 4х²+9у² – 8х – 36у+4=0.

Ответ: .

№91. х² – 9у²+2х+36у – 44=0.

Ответ: .

№92. у=х² – 5х+7.

Ответ: .

№93. х²+4у² – 4х – 8у+8=0. Ответ: О(2; 1).

№94. х²+4у²+8у+5=0. Ответ: мнимый эллипс.

№95. х² – у² – 6х+10=0.

Ответ: у² – (х – 3)²=1.

№96. х² – 6х+8=0.

Ответ: х=2; х=4.

№97. х²+2х+5=0. Ответ: мнимые прямые.

Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:

№98. Ответ: парабола у²=9х.

№99. Ответ: гипербола .

№100. Ответ: гипербола.

№101.

Ответ: отрезок прямой, соединяющий точки А(1; 0) и В(0; 1).

Дополнительные задания

Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:

№102. 36х²+36у² – 36х – 24у – 23=0.

Ответ: .

№103. .

Ответ: .

№104. 16х²+25у² – 32х+50у – 359=0.

Ответ: .

№105. у=4х²+8х+7. Ответ: 4(х+1)²=у – 3.

Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:

№106.

Ответ: луч, направленный по биссектрисе первого координатного угла.

№107. Ответ: дуга параболы.

№108.

№109.

№110.

№111.

Занятие 5 Полярная система координат

Цели

Знать:

• Связь между полярной и прямоугольной системой координат;

• уравнения основных линий в полярной системе координат.

Уметь:

• Схематически строить линию в полярной системе координат.

Cвязь между полярными и прямоугольными координатами точки устанавливается формулами:

(39)

при этом полюс полярной системы координат О совмещен с началом координат системы XOY, а полярная ось — с положительной полуосью ОX (рис.14).

рис.14

Переход от декартовых координат к полярным координатам:

; ;

; ; . (40)

Аудиторное задание

Выполнить лабораторную работу «Построение линий в полярной системе координат».

Цель работы: приобретение навыков построения линий по уравнению в полярной системе координат.

Задание и общие указания

1. Все вычисления оформляются на расчетном листе;

2. кривые строятся на миллиметровой бумаге;

3. при расчётах используется МК.

Инструкция к работе

№1. Построить точки в полярной системе координат:

► Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, отрицательные значения откладываются не на луче, наклонённом к полярной оси под углом , а на его продолжении за полюс (т.е. на луче, образующем с полярной осью угол ) (рис.15). ◄

рис.15

№2. Построить линии: а) ; б) ;

в) .

Провести краткое исследование формы кривой по уравнению: 1) симметрия кривой;

2) область существования кривой;

3) для построения линий в полярных координатах составить таблицу значений и ,где , выбрав шаг (n — коэффициент перед в уравнении линии).

► а) — данная линия окружность.

1) Линия симметрична относительно прямой ;

2) , достаточно рассмотреть ;

3) Составим таблицу с шагом :

	0
	0	2		4		2

	0	–2	–	–4	–	–2	0

По данным таблицы построим искомую линию (рис.16).

рис.16

б) — данная линия кардиоида.

1) линия симметрична относительно полярной оси;

2) , достаточно в виду симметрии кривой;

3) составим таблицу с шагом :

	0
	2	1,86	1,5	1	0,5	0,14	0

По данным таблицы построим искомую линию (рис.17).

рис.17

в) или — данная линия лемниската Бернулли.

1) линия симметрична относительно полюса О;

2) ; ;

3) составим таблицу с шагом :

	0							…
	0	0,7	0,9	1	0,9	0,7	0	…

	…
	…	0	0,7	0,9	1	0,9	0,7	0

По данным таблицы построим искомую линию (рис.18).

рис.18◄

№3. Записать уравнения линий, заданных в п.2, в декартовой системе координат.

► Используя формулы перехода от полярной системы координат к декартовой (40) имеем:

а) ;

;

х²+у²=4у;

х²+(у – 2)²=4 — уравнение смещённой окружности.

б) ;

;

— уравнение кардиоиды.

в) ;

;

;

(х²+у²)²=2ху — уравнение лемнискаты Бернулли. ◄

№4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

а) у²=16+8х; б) .

►а) — уравнение параболы;

б) ;

;

— уравнение кардиоиды. ◄

Вариант 1

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 2

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ; 3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 3

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) у=8х.

Вариант 4

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 5

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ; 3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 6

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

1) ; 2) х² – 3у² – 6х=0.

Вариант 7

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

1) ; 2) .

Вариант 8

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1);

2) .

Вариант 9

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

1) ; 2) .

Вариант 10

1. Построить точки: .

2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .