- •Занятие 1 Прямоугольная система координат
- •Занятие 2 Различные виды уравнения прямой на плоскости Цели
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Прямая на плоскости»
- •Занятие 3 Кривые второго порядка Цели
- •1. Эллипс
- •2. Окружность
- •3. Гипербола
- •4. Парабола
- •Различные виды парабол
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Занятие 4 Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям. Параметрические уравнения линий
- •Аудиторные задания
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Занятие 5 Полярная система координат
- •Аудиторное задание
- •Задание и общие указания
- •Инструкция к работе
- •Домашние задания
- •Дополнительные задания
- •Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Кривые второго порядка»
- •Задание 5. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями:
- •Контрольные вопросы
- •Кривые второго порядка
- •Параметрические уравнения
- •Полярная система координат
- •Примерный вариант контрольной работы Вариант 1
- •Литература
- •Содержание
Домашние задания
№112. В полярной системе координат построить точки: А(2; 0); В; С; D; E; F; G; K; L; M.
№113. Написать в полярных координатах уравнения линий:
1) ; 2) у – 2х=0; 3) х2+у2=2а у.
№114. Построить линии: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
№115. Написать в декартовых координатах уравнения линий и построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
Дополнительные задания
№116. Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах. Записать в декартовых координатах: 1) ;
2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ;
12) ; 13) .
№117. Составить в полярных координатах уравнения следующих линий:
1) прямой, перпендикулярной к полярной оси и отсекающей на ней отрезок, равный 3;
2) прямых, параллельных полярной оси и отстоящих от неё на расстоянии 5;
3) окружности R=4 с центром на полярной оси и проходящей через полюс;
4) окружностей радиусом R=3, касающихся полярной оси в полюсе.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Кривые второго порядка»
Задание 1. Составить канонические уравнения:
а) эллипса, большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке ;
б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом ;
в) параболы, имеющей директрису х= –3.
►а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию большая полуось, а=3, с=. Для эллипса: c2=a2 – b2, следовательно, b2=32 – =4. Искомое уравнение: ;
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию мнимая полуось b=2, c=. Для гиперболы: c2=a2+b2, следовательно, а2=с2 – b2= – 22=9. Искомое уравнение гиперболы: .
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид у2=2 р х, уравнение её директрисы , но по условию задачи уравнение директрисы х= – 3, поэтому ; р=6. Искомое каноническое уравнение параболы имеет вид: у2=12х. ◄
Задание 2. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса х2+4у2=4 и имеющей центр в его верхней вершине.
► Для данного эллипса верхняя вершина А(0; 1), а=2, b=1. Поэтому с===. Таким образом, фокусы находятся в точках F1(–;0), F2(;0).
Радиус искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:
R=|AF1|=|AF2|===2.
В соответствии с уравнением (15) записываем искомое уравнение окружности:
(х – 0)2+(у – 1)2=22 или х2+(у – 1)2=4.◄
Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка М которой отстоит от точки А(3; 2) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки В(–1; 0).
► Пусть М(х; у) — любая точка искомой линии (рис.19).
рис.19
Тогда по условию задачи |AM|=3|BM|. Т.к. |AM|=, |BM|=, то уравнение искомой линии:
=3.
Преобразуем его, возведя обе части в квадрат. Имеем:
х2 – 6х+9+у2 – 4у+4=9х2+18х+9+9у2,
8х2+24х+8у2+4у – 4=0.
Выделив полные квадраты в последнем уравнении, придём к уравнению вида:
,
которое является уравнением окружности с центром в точке и радиусом R=. ◄
Задание 4. Построить кривую, заданную уравнением в полярных координатах .
► Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла и соответствующие им значения полярного радиуса :
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
0 |
|
4 |
|
8 |
|
2 |
|
0,6 |
|
6 |
|
7,4 |
|
1,2 |
|
1,2 |
|
6,8 |
|
6,8 |
|
0,6 |
|
2 |
|
7,4 |
|
6 |
Построив найденные точки в полярной системе координат и соединив их плавной линией, получим кардиоиду. ◄