13. Классификация математических моделей в зависимости от входных и выходных параметров.

По отношению ко времени различают статические и динамические модели. Первые инвариантны ко времени, а вторые являются функцией времени.

По характеру зависимости выходных параметров от входных модели делятся на детерминированные и стохастические. Если существуют функциональные зависимости выходных параметров от входных, то модели являются детерминированными, если эти зависимости неизвестны, а известно лишь математическое описание выходов в виде функции входов, модели называются стохастическими.

По характеру времени динамические модели делятся на непрерывные и дискретные. Первые функционируют в непрерывном времени, а вторые - в дискретном. Примером непрерывных детерминированных моделей могут служить дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения; примером дискретных детерминированных моделей – конечные автоматы, дискретных стохастических – вероятностные автоматы.

Основные виды моделей представленные на рисунке 3.

Рис. 3 Классификация математических моделей.

Иерархическая структура моделей гхтс.

Модели сложных систем иерархического типа формируются в соответствии с принципом модульности, заключающимся в том, что моделирование химико-технологических систем основано на относительной самостоятельности и независимости их подсистем, допускающих декомпозицию анализируемой системы на составляющие ее подсистемы и формирование их моделей.

В соответствии с принципом модульности моделирования сложных систем модель подсистемы каждого уровня иерархии формируется как объединение моделей нижележащего уровня, а процесс взаимодействия подсистем взаимодействующих уровней моделируется с использованием координирующего соотношения. На рисунке 4 представлена иерархическая структура моделей ГХТС.

Рис. 4 Иерархическая структура моделей гибких ХТС.

Согласно классическому модульному принципу моделирование сложных систем, предполагает формирование моделей подсистем каждого уровня иерархии как объединение модулей нижележащих уровней. Обобщенная модель гибкой ХТС должна включать в себя модели отдельных аппаратов и дополнительные условия, определяющие функционирования ХТС как целостной системы.

В свою очередь, модель аппарата представляется как совокупность моделей отдельных операций и координирующих условий.

Модель каждой операции – это система уравнений, описывающих множество физико-химических процессов, протекающих в системе в пределах каждой элементарной операции. Модель произвольного уровня L_j иерархии является объединением моделей M_i нижележащего уровня L_j-1 и пересечением с координирующим соотношением C_j-1,j :

,

(1)

где I - число моделей нижележащего уровня иерархии.

Элементом гибкой ХТС является технологический аппарат периодического, непрерывного или полунепрерывного действия. Технологическая стадия в АПД есть упорядоченная последовательность технологических операций, каждая из которых представляет собой совокупность типовых физико-химических процессов.

Графически структуру модели технологической операции можно представить следующим образом (рис.5).

Рис. 5. Структурное представление модели технологической операции.

Здесь: M_k- модель технологической операции k;

M_1k- уравнения гидродинамики;

M_2k- уравнения теплопередачи;

M_3k- уравнения массопередачи;

M_4k- уравнения химической кинетики.

Таким образом, модель M_k технологической операции k есть замкнутая система уравнений типовых процессов, что можно записать:

; k=1,…,К

(2)

где M_pk – уравнение типового процесса р (гидродинамического, теплового, диффузионного, химического);

Р – число процессов, образующих данную технологическую операцию;

К – число технологических операций, образующих цикл АПД.

Модель любой типовой технологической операции – это система дифференциальных и алгебраических уравнений с заданными начальными условиями, которые описывают гидродинамику, теплопередачу, массопередачу, химическую кинетику.

(3)

где y = {y₁, y₂,… y_N }; x = {x₁, x₂,…,x_N} – векторы зависимых переменных

τ – время

f, g – известные векторные функции

Например, математическая модель химической реакции в аппарате периодического действия (АПД) имеет вид системы уравнений:

(4)

где C_i , i = 1…k – концентрация реагентов и продуктов реакции

k – число компонентов реакции

r – скорость реакции

∆H – тепловой эффект

T₀ – температура теплоносителя (или хладоагента)

f₀, f_i( i = 1…k), F – известные функции

Из моделей технологических операций M_kj, имеющих конечную временную продолжительность и заканчивающихся некоторым состоянием аппарата, а также моделей μ_j процесса их смены (т.е. смены состояний) и отображения, ставящего в соответствие множеству операций множество их моделей, формируется модель M_j технологического аппарата j периодического действия:

; j = 1,…,J1; ,

(5)

где J₁ – число АПД.

Модели аппаратов непрерывного и полунепрерывного действия, которые могут входить в состав гибкой ХТС наряду с аппаратами периодического действия, совпадают с моделями реализуемых в них процессов, которые в этом случае могут рассматриваться как единственная операция бесконечной продолжительности в АПД или продолжительности, равной технологическому циклу в АПНД.

Для i-ой ХТС, образованной J₁ аппаратами периодического действия, J₂ – АНД и J₃ – АПНД модель M_i ХТС формируется из моделей этих аппаратов M_j; j=1,…J, где , моделей их взаимодействия υ_i и отображения ψ_i, ставящего в соответствие множеству технологических аппаратов множество их моделей. А т.к. работа технологических аппаратов в системе должна быть согласована по времени, то в обобщенной модели системы должна содержаться модель расписания работы составляющих ее аппаратов ρ_i:

, где i=1,…,I

(6)

где , I-число ХТС.

Здесь проявляется свойство эмерджентности системы, заключающееся в том, что модель системы не является простой совокупностью моделей образующих ее технологических аппаратов, а содержит также модели взаимодействия аппаратов, расписания их работы и отображения множества технологических аппаратов в множество их моделей. Таким образом, система приобретает новое качество, отсутствующее у отдельных аппаратов.

Гибкая ХТС многократно изменяет технологическую и организационную структуру, что обусловлено изменением номенклатуры и количества производимых ею продуктов; каждый раз, когда номенклатура и количество продуктов фиксируются, фиксируется и структура гибкой системы, которая в течение некоторого интервала времени, равного продолжительности производства продуктов этой номенклатуры, функционирует как индивидуальная или совмещенная с жесткой структурой.

Следовательно, модель гибкой системы М_ι формируется из моделей М_іι подсистем, на которые она декомпозируется при фиксации номенклатуры продукции. Модели подсистем дополняются моделями модификации ее технологической ζ_ι и организационной χ_ι структур и отображением ξ_ι, ставящим в соответствие каждой индивидуальной (или совмещенной) системе іι ее модель М_іι :

(7)

где .

В общем случае существует не единственный способ организации технологических процессов в гибкой системе, а множество вариантов ее технологической структуры, поэтому M_l, ζ_l, χ_l и функция ξ_l являются переменными, как и число моделей.

13. Классификация математических моделей в зависимости от параметров моделирования.

В общем случае параметры, описывающие состояние и поведе­ние объекта моделирования, разбиваются на ряд непересекающихся подмножеств:

• совокупность входных воздействий на объект;

• совокупность воздействий внешней среды;

• совокупность внутренних (собственных) параметров объек­та;

• совокупность выходных характеристик.

Количество параметров всех типов в математических моделях, как правило, конечно. При этом каждый из параметров может иметь различную «ма­тематическую природу»: быть постоянной величиной или функцией, скаляром или вектором, четким или нечетким множеством и т.д.

По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Количе­ственные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. Качественные характеристики могут находить­ся, например методом экспертных оценок. Таким образом, в зависимости от вида используемых параметров, модели могут подразделяться на: качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта свойства, параметры воздействия и начальное состояние известны с некоторой степенью неопределенности. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

1) детерминированные - значения всех параметров модели оп­ределяются детерминированными величинами (т.е. каждому пара­метру соответствует конкретное целое, вещественное или комплек­сное число либо соответствующая функция). Данный способ соот­ветствует полной определенности параметров;

2) стохастические - значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плот­ностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;

3) случайные - значения всех или отдельных параметров моде­ли устанавливаются случайными величинами, заданными оценка­ми плотностей вероятности.

4) интервальные - значения всех или отдельных параметров мо­дели описываются интервальными величинами, заданными интер­валом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;

5) нечеткие - значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему не­четкому множеству.

Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для моделей, в параметры которых входят координаты пространства. Как правило, увеличение размернос­ти модели приводит к росту числа математических соотношений.

При разработке модели, стараются понизить размерность. Однако необоснованное пониже­ние размерности модели может существенно исказить результаты моделирования. Например, если для исследования движения бро­шенного мяча в вертикальной плоскости использование двухмер­ной модели может быть оправдано, то для исследования движения бумеранга такую модель строить бесполезно.

Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и коор­динаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. Если сравнивать скорости изменения различных объектов, то можно отметить, что для галактик время за­метных изменений измеряется миллионами лет, а для элементар­ных частиц - миллионными долями секунды.

Любой объект стремится перейти в некоторое равновесное состояние, как с окружающей его средой, так и между отдельными эле­ментами самого объекта. Нарушение этого равновесия приводит к изменениям различных параметров объекта и его переходу в новое равновесное состояние.

При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных времен перехода объекта в новое равновесное состояние. Если скорости изменения внешних воздействий на объект мо­делирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом слу­чае говорят о квазистатическом процессе.

Например, если скорость появления микротрещин в элементах конструкции моста, связанная с сезонными колебаниями температуры и переменностью нагрузок, невелика, то расчет его максималь­ной несущей способности можно проводить в рамках статической модели. Срок службы моста в этом случае можно определить с помощью квазистатической модели, использующей зависимость прочностных свойств материала моста от суммарного числа цик­лов нагружения.

Если скорости изменения внешних воздействий достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом слу­чае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса.

Условие движения отдельных элементов объекта не является обязательным условием включения времени в число па­раметров модели. Для примера рассмотрим течение жидкости в длинной трубе постоянного се­чения. Эксперименты показыва­ют, что на достаточно большом удалении от входа в трубу части­цы жидкости движутся парал­лельно оси трубы (рис.).

При этом если условия на входе не изменяются и скорость течения невелика (ламинарный режим течения), то профиль скоростей частиц в данном сече­нии трубы с течением времени остается неизменным. В этом случае, в каждой фиксированной точке исследуемого пространства значения параметров модели не зависят от времени.

Подобные процессы называют стационарными. Как правило, стационарные модели применяются для описания различных пото­ков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока. Для таких процессов время может быть исключе­но из числа независимых переменных.

Если в качестве одной из существенных независимых перемен­ных модели необходимо использовать время, то модель называется нестационарной. Примером нестационарной мо­дели является модель движения жидкости в трубе, но вытекающей из некоторого сосуда. По мере понижения уровня жидкости в со­суде давление на входе в трубу будет уменьшаться, что приведет к изменению параметров течения жидкости в каждой точке трубы.