6. Методы реализации математических моделей

Методы реализации математических моделей зависят от формы представления модели, цели моделирования, чёткости определения цели, определённости условий, которым должны удовлетворять результаты, имеющихся технических и временных ресурсов и т.д. Прежде чем приступать к моделированию, необходимо уяснить, что результаты моделирования необходимы и достаточны для достижения целей моделирования и, что имеющихся исходных данных достаточно для получения нужных результатов, проанализировать альтернативные варианты реализации модели, оценить, хотя бы приблизительно, экономическую целесообразность моделирования, наметить пути оценки качества результатов моделирования. Существует два наиболее общих метода реализации математических моделей: аналитический и численный.

Аналитический метод применяется к моделям, представленным в аналитической или инвариантной форме, когда установлена аналитическая зависимость искомых результатов от множества исходных данных, состояний объекта и других его характеристик. Эта зависимость чаще всего выражена явной или неявной функцией и может быть исследована методами математического анализа, в результате которого формулируются выводы о существовании решения, его единственности, корректности, диапазоне использования и другие, главным образом, качественные характеристики самой модели и результатов моделирования.

Количественные характеристики находят при численной реализации математической модели. Численные методы реализации модели основаны на выполнении вычислительного эксперимента, т.е. совместном использовании математического анализа, вычислительной математики и технических средств для получения ответов на разумно поставленные вопросы математического и физического содержания. Технология вычислительного эксперимента делится на ряд этапов.

На первом этапе намечается план вычислительного эксперимента, разрабатывается вычислительный алгоритм, т.е. совокупность алгебраических формул, по которым будут выполняться вычисления, и логических условий, устанавливающих необходимую последовательность применения этих формул, и предусматриваются меры промежуточного контроля самой модели и вычислительного процесса.

На втором этапе на одном из языков программирования пишется и отлаживается программа для выполнения вычислений на компьютере по алгоритму созданному на первом этапе.

На третьем этапе выполняются вычисления, результат которых и является результатом вычислительного эксперимента. Этот этап имеет наибольшее сходство с физическим экспериментом. Отличие их состоит в том, что в физическом эксперименте вопросы задаются природе, а в вычислительном - математической модели. Вычисления ведутся по плану, предусматривающему возможность проверки и программы вычислений и алгоритма и результатов. Для этого должны использоваться избыточные данные, полученные из независимых источников.

На четвёртом этапе осуществляется обработка и анализ результатов вычислений. Итог этого этапа - принятие решения о приемлемости результатов или необходимости внесения изменений в модель, алгоритм или программу.

В настоящее время появляется всё больше задач, которые решаются с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента. В геодезии к таким задачам, например, относятся:

1. расчёт траекторий искусственных спутников Земли,

2. определение параметров гравитационного поля и фигуры Земли,

3. цифровая обработка изображений,

4. определение параметров движений и деформаций различных объектов,

5. цифровое картографирование местности,

6. моделирование эволюции состояния объектов и многие другие.

Общим для всех этих задач является постоянно возрастающая сложность и объём вычислений, которые не компенсируются возрастающей мощностью компьютеров и постоянно требуют совершенствования математических моделей, алгоритмов и программ. Эти обстоятельства привели к созданию качественно новой методологии исследования объектов методом математического моделирования, которая получила название имитационное моделирование.

20. Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации.

Математическое моделирование - это идеальное научное зна­ковое формальное моделирование, при котором объект описывается на языке математики, а модель исследуется с использованием математических методов.

Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)

Метод реализации модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счет­ная совокупность арифметических операций и переходов к пределу.

Частным случаем аналитических выражений являются алгебра­ические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочис­ленную степень и извлечения корня.

Очень часто аналитическое решение для модели представляют в элементарных или специальных функциях: показательных, тригонометрических и т.п. Для по­лучения значений этих функций при конкретных значениях вход­ных параметров используют их разложение в ряды (например, Тей­лора). Учитывая различное число членов ряда, можно вычислять значе­ние функции с различной степенью точности. Таким образом, значение функции при каждом значении аргумента в этом случае определяется приближенно. Модели, использующие подобный при­ем, называются приближенными.

Аналитические методы реализации модели являются более ценными в том плане, что позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить свойства объекта моделирования, применяя тра­диционные хорошо развитые математические методы анализа. Кроме того, знание аналитического выражения для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, его качественное поведение, строить новые ги­потезы о его внутренней структуре. Следует отметить, что возмож­ности аналитических методов существенно зависят от уровня раз­вития соответствующих разделов математики.

К сожалению, существующие математичес­кие методы позволяют получить аналитические решения только для относительно несложных математических моделей. В большинстве случаев при исследова­нии моделей приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.

При численном подходе математические соотно­шения модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискрет­ного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполня­ется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательно­сти арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение диск­ретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимает­ся за приближенное решение исходной математической задачи.

Степень приближения искомых параметров модели зависит как от погрешностей са­мого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления, возникающих при выполне­нии любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью пред­ставления чисел в ее памяти. Основным требованием к вычисли­тельному алгоритму является необходимость получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов.

Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анали­за результатов моделирования. Так как применение моделей дан­ного типа возможно лишь при наличии вычислительной техники, то их эффективность зависит от мощности и быстродействия ЭВМ. Несомненным достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности.

Использование математической модели, построенной алгорит­мическими методами, аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, только вместо реального эксперимента с объек­том - проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Зада­ваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находим конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Для исследо­вания поведения объекта при новом наборе исходных данных необ­ходимо проведение нового вычислительного эксперимента.

7. Анализ объектов с точки зрения цели моделирования, приведите примеры

Цели моделирования

Самым важным предназначением моделей является прогнозирование поведения сложных процессов и явлений. Сле­дует учитывать, что некоторые объекты и явления вообще не могут быть изучены непосредственным образом. Недопустимы, например, широкомасштабные «натурные» эксперименты с экономикой стра­ны или со здоровьем ее населения. Не­возможно провести экспе­римент по прямому исследованию структуры звезд. Многие экс­перименты неосуществимы из-за дороговизны или рискованности для человечества.

Другое назначение моделей состоит в выявлении существенных фак­торов, влияющих на свойства объекта. Например, исследуя движение мас­сивного тела в атмосфере вблизи поверхности Земли, на основании экспериментальных данных можно выяснить, что параметры движения существенно за­висят от геометрической формы и шероховатости этого тела. При рассмотрении движения того же тела в верхних слоях атмосферы, где сопротивлением воздуха можно пренебречь, несущественными становятся и форма, и ше­роховатость поверхности.

В сложных системах понять все связи «разом» человек не в состоянии. Модель же позволяет «играть» с ней: включать или от­ключать те или иные связи, менять их для того, чтобы понять важ­ность для поведения системы в целом. (модель AirDefenseSystem.alp)

Итак, модель нужна для того, чтобы:

1) понять, как устроен конкретный объект: какова его структу­ра, внутренние связи, основные свойства, законы развития и взаимодействия со средой;

2) научиться управлять объектом, определять наилучшие способы управления при заданных целях;

3) прогнозировать прямые и косвенные последствия воздействия на объект.