Умовні позначення.
6
Модуль 1. Основи нарисної та обчислювальної геометрії
1.1. Завдання 1. Прямокутні проекції основних геометричних фігур та їх властивості.
Склад завдання:
- за координатами точок А, В, …I побудувати їх прямокутні проекції (номер варіанта та координати занести в таблицю);
- побудувати прямокутні проекції ламаної ABCDEGI;
- визначити положення всіх відрізків ламаної АВ, ВС, … відносно площин проекцій (результати занести в таблицю);
- побудувати сліди прямої загального положення;
- визначити положення всіх відрізків ламаної відносно ВС (результати занести в таблицю);
- визначити натуральну величину відрізків та загальну довжину ламаної;
- визначити положення площин Σ(А,В,С), Φ(ΔEGI), Г(CD∩DE) відносно площин проекцій.
Завдання виконується на аркуші формату А4.
Перед виконанням завдання рекомендується вивчити 1, 2, 3 с. 11-22.
Аналітично точка визначається в тривимірній декартовій системі координат за трьома координатами, відповідно, абсциса (вздовж осі х), ордината (вздовж у) та апліката (вздовж z). В системі прямокутних проекцій за декартовими координатами можна побудувати комплексний рисунок точки на двох або більше площинах проекцій. І навпаки, за двокартинним комплексним рисунком можна визначити координати точки.
Дві точки задають пряму, три – площину. Точку, пряму і площину вважають основними геометричними фігурами.
Сполучивши однойменні проекції двох точок, одержуємо прямокутні проекції відрізка, що задає пряму лінію. Однойменні проекції трьох точок, що не лежать на одній прямій, дають прямокутні проекції площини.
Знання властивостей проекцій прямих та площин дозволяють за прямокутними проекціями визначити їх положення в просторі відносно площин проекцій.
Натуральна величина ліній окремого положення (рівня або проекціюючих) визначається безпосередньо за їх проекціями. Визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення здійснюється способом прямокутного трикутника.
Варіанти завдань наведені в табл. 1.
Приклад виконання завдання наведено на рис. 1.
Виконання кожного завдання починається з компоновки креслення.
Спочатку виконується рамка креслення Від обрізів аркушу слід відступати: зліва 20 мм, зверху, справа та знизу 5 мм. Всередині рамки – робоче поле.
Вверху робочого поля креслярським шрифтом треба написати найменування та склад завдання. Внизу - виконати дві таблиці та підписати аркуш. В першу з таблиць слід записати вихідні данні – координати точок і номер варіанта.
Побудова прямокутних проекцій починається з викреслювання осей х12, у1, z23, що перетинаються в початку відліку, точці 0123. Рекомендується нанести шкали кроком 10 мм.
Побудова прямокутних проекцій точки А починається з відкладання координати х, що дорівнює 110 мм, від точки 0123 в додатному напрямі. Потім перпендикулярно до осі х12 будується вертикальна лінія проекційного зв‘язку (відповідності). Вздовж неї від осі х12 паралельно додатному напряму осі у1 відкладається величина координати у, що дорівнює 40мм. В результаті маємо горизонтальну проекцію А1 точки. Вздовж лінії відповідності паралельно доданому напрямку осі z23 відкладається координата z точки А, що дорівнює 20мм. Одержана фронтальна проекція А2 точки. Для побудови двох проекцій використані три координати точки А, тому вона задана однозначно. Це двокартинне комплексне креслення точки А. Аналогічно будуються прямокутні проекції любих точок.
Проекції точок А2 та В2 збігаються. Тому відрізок АВ перпендикулярний до фронтальної площини проекцій (записано в таблиці). Такі лінії називають фронтально-проекціюючими. Горизонтальна проекція А1В1 дорівнює її натуральній величині (записано на кресленні).
7
Таблиця 1.
Координати в міліметрах точок A, B, C, D, E, G, I до першого завдання
|
Номер варіанта |
А |
В |
С |
D |
E |
G |
I |
|||||||||||||||||
|
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
||||
|
1 |
90 |
50 |
10 |
120 |
50 |
10 |
120 |
20 |
10 |
90 |
30 |
10 |
70 |
30 |
20 |
50 |
20 |
20 |
50 |
20 |
40 |
|||
|
2 |
60 |
50 |
10 |
90 |
50 |
10 |
90 |
20 |
10 |
60 |
30 |
10 |
40 |
30 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
40 |
|||
|
3 |
120 |
50 |
10 |
120 |
20 |
10 |
90 |
20 |
10 |
70 |
30 |
10 |
0 |
20 |
20 |
0 |
20 |
40 |
20 |
20 |
50 |
|||
|
4 |
80 |
40 |
10 |
110 |
40 |
10 |
110 |
10 |
10 |
80 |
20 |
10 |
60 |
20 |
20 |
40 |
10 |
20 |
40 |
10 |
40 |
|||
|
5 |
70 |
50 |
10 |
100 |
50 |
10 |
100 |
20 |
10 |
70 |
30 |
10 |
50 |
30 |
20 |
30 |
20 |
20 |
30 |
20 |
40 |
|||
|
6 |
80 |
50 |
0 |
110 |
50 |
0 |
110 |
20 |
0 |
80 |
30 |
0 |
60 |
30 |
10 |
40 |
20 |
10 |
40 |
20 |
30 |
|||
|
7 |
70 |
50 |
20 |
100 |
50 |
20 |
100 |
20 |
20 |
70 |
30 |
20 |
50 |
30 |
20 |
30 |
20 |
30 |
30 |
20 |
50 |
|||
|
8 |
80 |
60 |
10 |
110 |
60 |
10 |
110 |
30 |
10 |
80 |
40 |
10 |
60 |
40 |
20 |
40 |
30 |
20 |
40 |
30 |
50 |
|||
|
9 |
90 |
50 |
70 |
120 |
50 |
70 |
120 |
20 |
70 |
90 |
30 |
70 |
60 |
40 |
30 |
50 |
20 |
30 |
50 |
20 |
10 |
|||
|
10 |
80 |
50 |
60 |
110 |
50 |
60 |
110 |
20 |
60 |
80 |
30 |
60 |
50 |
40 |
20 |
40 |
20 |
20 |
40 |
20 |
0 |
|||
|
11 |
90 |
40 |
70 |
120 |
40 |
70 |
120 |
10 |
70 |
90 |
20 |
70 |
60 |
30 |
30 |
50 |
10 |
30 |
50 |
10 |
10 |
|||
|
12 |
90 |
40 |
60 |
120 |
40 |
60 |
120 |
10 |
60 |
90 |
20 |
60 |
60 |
30 |
20 |
50 |
10 |
20 |
50 |
10 |
0 |
|||
|
13 |
80 |
60 |
20 |
110 |
60 |
20 |
110 |
30 |
20 |
80 |
40 |
20 |
60 |
40 |
30 |
40 |
30 |
30 |
40 |
30 |
50 |
|||
|
14 |
90 |
50 |
10 |
120 |
50 |
10 |
120 |
20 |
10 |
90 |
30 |
10 |
70 |
30 |
20 |
50 |
20 |
20 |
50 |
20 |
40 |
|||
|
15 |
120 |
50 |
20 |
120 |
20 |
20 |
90 |
20 |
20 |
70 |
30 |
20 |
50 |
20 |
30 |
50 |
20 |
50 |
20 |
20 |
60 |
|||
|
16 |
110 |
40 |
20 |
110 |
10 |
20 |
80 |
10 |
20 |
60 |
20 |
20 |
40 |
10 |
30 |
40 |
10 |
40 |
10 |
10 |
60 |
|||
|
17 |
80 |
60 |
20 |
110 |
60 |
20 |
110 |
30 |
20 |
80 |
40 |
20 |
60 |
40 |
30 |
40 |
30 |
30 |
40 |
30 |
50 |
|||
|
18 |
90 |
60 |
20 |
120 |
60 |
20 |
120 |
30 |
20 |
90 |
50 |
20 |
60 |
50 |
20 |
50 |
30 |
30 |
50 |
30 |
50 |
|||
|
19 |
80 |
50 |
10 |
110 |
50 |
10 |
110 |
20 |
10 |
80 |
40 |
10 |
50 |
40 |
10 |
40 |
20 |
20 |
40 |
20 |
40 |
|||
|
20 |
110 |
40 |
10 |
110 |
10 |
10 |
80 |
10 |
10 |
60 |
20 |
10 |
40 |
10 |
20 |
40 |
10 |
30 |
10 |
10 |
50 |
|||
|
21 |
80 |
50 |
0 |
110 |
50 |
0 |
110 |
20 |
0 |
80 |
30 |
0 |
60 |
30 |
10 |
50 |
10 |
20 |
40 |
10 |
30 |
|||
|
22 |
90 |
50 |
10 |
120 |
60 |
10 |
120 |
30 |
10 |
90 |
40 |
10 |
70 |
40 |
20 |
60 |
20 |
30 |
50 |
20 |
40 |
|||
|
23 |
70 |
40 |
10 |
100 |
40 |
10 |
110 |
20 |
10 |
80 |
20 |
10 |
60 |
20 |
10 |
60 |
10 |
10 |
60 |
10 |
30 |
|||
|
24 |
90 |
50 |
10 |
120 |
50 |
10 |
120 |
20 |
10 |
90 |
30 |
10 |
70 |
30 |
20 |
50 |
20 |
20 |
50 |
20 |
40 |
|||
|
25 |
80 |
40 |
10 |
110 |
40 |
10 |
110 |
20 |
10 |
90 |
30 |
10 |
70 |
30 |
20 |
50 |
20 |
20 |
50 |
20 |
40 |
|||
|
26 |
80 |
40 |
10 |
110 |
40 |
10 |
110 |
10 |
10 |
80 |
20 |
10 |
60 |
20 |
20 |
40 |
10 |
20 |
40 |
10 |
40 |
|||
|
27 |
80 |
60 |
10 |
110 |
60 |
10 |
110 |
30 |
10 |
80 |
40 |
10 |
60 |
40 |
20 |
40 |
30 |
20 |
40 |
30 |
50 |
|||
|
28 |
90 |
40 |
60 |
120 |
40 |
60 |
120 |
10 |
60 |
90 |
20 |
60 |
60 |
30 |
20 |
50 |
10 |
20 |
50 |
10 |
0 |
|||
|
29 |
110 |
40 |
20 |
110 |
10 |
20 |
80 |
10 |
20 |
60 |
20 |
20 |
40 |
10 |
30 |
40 |
10 |
40 |
10 |
10 |
60 |
|||
|
30 |
110 |
40 |
10 |
110 |
10 |
10 |
80 |
10 |
10 |
60 |
20 |
10 |
40 |
10 |
20 |
40 |
10 |
30 |
10 |
10 |
50 |
|||
Аналогічно проаналізовані проекції інших відрізків. Всі прямі, крім DE, окремого положення. Його натуральна величина визначена способом прямокутного трикутника. Побудовано також горизонтальний H та фронтальний F сліди прямої DE.
Точки А та В є конкуруючими в видимості для фронтальної площини проекцій, тому що знаходяться на одному фронтально-проекціюючому промені. За напрямом проекціювання на П2 першою (видимою) буде точка А, другою (невидимою) – В. Останнє очевидно з горизонтальних проекцій цих точок. Тому на рис. 1 найменування фронтальної проекції невидимої точки – В2 взято в дужки. Аналогічна конкуренція - між точками E та G для горизонтальної площини проекцій. Точка G вище за точку Е. Тому Е1 також взято в дужки.
На довільному місті креслення проведена горизонтальна пряма з початком в точці А. На ній послідовно відкладені натуральні величини всіх відрізків. Загальна довжина ламаної дорівнює відрізку AI.
Відрізки ВС та АВ мають спільну точку В, тобто перетинаються (записано в таблиці). Крім того, вони взаємно перпендикулярні (записано в таблиці), тому що А1В1 перетинається з В1С1 під прямим кутом і ВС паралельний до горизонтальної площини проекцій П1.
Визначено розташування інших відрізків відносно відрізка ВС за їх проекціями.
Площина Σ задана трьома точками А, В, С. На фронтальній площині проекцій А2, В2, С2 розташовані на одній прямій, паралельній осі х12. Звідси висновок про те, що Σ паралельна горизонтальній площині проекцій. Проаналізувавши властивості проекцій площини Φ, що задана трикутником EGI, та Г, що задана двома прямими СD та DE, які перетинаються, записані висновки про їх розташування в просторі відносно площин проекцій.
8
Рис. 1
9