1.4. Завдання 4. Перетин поверхонь геометричних тіл з прямою.
Склад завдання: побудувати проекції точок перетину поверхні заданого геометричного тіла з прямою лінією EF.
Завдання виконується на аркуші формату А4.
Перед виконанням завдання рекомендується вивчити 1, 2, 3 с. 37-38, с. 62-63.
Для кожного варіанту завдання пропонується одне з геометричних тіл – призма, піраміда, циліндр, конус та пряма загального положення, або проекціююча. Основи поверхонь геометричних тіл лежать на площинах проекцій П1, П2 або фронтально проекціюючі.
Для розв‘язання завдання рекомендується використати один зі способів: допоміжних січних площин або допоміжного проекціювання.
Щоб побудувати точки перетину прямої з будь-якою поверхнею способом допоміжних січних площин потрібно через задану пряму провести таку площину, яка перерізає задану поверхню по найпростішим лініям (прямі, коло), а потім одержати точки перетину цих ліній з даною прямою. Вони і будуть шуканими точками перетину. Зазвичай у ролі допоміжної січної площини використовують проекціюючу площину, яка проходить через дану пряму лінію. Це спрощує побудову лінії перетину січної площини с заданою поверхнею.
Можливо використовувати спосіб паралельного (для призм та циліндрів) або центрального (для пірамід та конусів) допоміжного проекціювання на площину основи геометричного тіла.
Варіанти завдань наведені в табл. 4.
Приклад виконання завдання наведено на рис. 6. Тут пряма загального положення a перетинається з поверхнею похилої трикутної піраміди SABC. Задача розв‘язана двома способами: допоміжних січних площин, рис. 6а, і допоміжного центрального проекціювання, рис. 6б.
За першим способом, рис. 6а, через пряму проведено фронтально - проекціюючу січну площину Σ, яка на П2 виродилася в пряму лінію. Тоді E2F2 збігається з Σ2. Ребра піраміди перетинаються з Σ, утворюючи трикутник перерізу – лінію k. Побудувавши горизонтальну проекцію лінії k1 (112131) знаходимо точки перетину горизонтальних проекцій заданої прямої E1F1 з трикутником k1 – N1 та М1. Це горизонтальні проекції точок перетину прямої лінії з поверхнею похилої трикутної піраміди. За відповідністю визначаємо їх фронтальні проекції – N2 та М2. Визначаємо видимість елементів.
Щоб
розв‘язати завдання способом центрального
допоміжного проекціювання на площину
основи геометричного
тіла, рис. 6б,
через задані точки E
і F (або
інші довільно вибрані точки на прямій)
з вершини піраміди S
проводимо проекціюючі промені
на
площину її основи. При цьому піраміда
спроекціюється своєю основою, а відрізок
EF прямої
відрізком
.
В перетині проекції відрізка
з проекцією основи піраміди A1B1C1
визначаються дві точки
та
.
Зворотним проекціюванням з цих точок
у вершину піраміди визначають шукані
точки перетину прямої з гранями піраміди
- горизонтальні проекції точок N1
та М1.
За відповідністю визначаємо їх фронтальні
проекції – N2
та М2.
Визначаємо видимість
прямої ЕF.
Використання допоміжної січної площини та центрального допоміжного проекціювання з вершини піраміди дає однаковий результат.
16
Таблиця 4
Варіанти завдань до перетину прямої з поверхнею геометричних тіл
|
Номер
варіанта
Для варіантів
01-04
01
02
03
04* Точки
S
О
E
F
E
F
E
F
E
F Координата x
70
70
110
35
110
40
100
30
100
30 y
40
40
80
25
10
55
30
65
30
65 z
100
0
30
10
20
55
25
25
25
25 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Номер
варіанта 05 06 Точки
S
О
E
F
S
О
E
F Координата x
150
50
100
65
10
110
50
50 y
80
40
20
50
80
40
75
75 z
70
0
10
30
70
0
15
60 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Номер варіанта
Для варіантів
07-12
07
08
09
10*
11*
12*
Точки
S
O
E
F
E
F
E
F
E
F
E
F
E
F
Координата
x
70
70
95
40
100
50
105
40
95
40
100
50
105
40
y
45
45
55
20
40
60
10
50
55
20
40
60
10
50
z
100
0
45
20
20
60
10
40
45
20
20
60
10
40 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Номер
варіанта
Для
варіантів
19-21 19 20 21* Точки
О
E
F
E
F
E
F
Координата
x
80
100
25
110
20
75
75
y
40
80
10
15
70
5
80
z
0
60
25
15
40
25
25 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17
Продовження таблиці 4
|
Номер варіанта
Для
варіантів
22-24 22 23 24*
Точки
О
E
F
E
F
E
F
Координата
x
110
125
65
145
50
120
120
y
20
70
10
50
20
45
45
z
40
80
20
60
30
90
20 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Номер
варіанта
Для
варіантів 25-30 25 26 27* 28* 29* 30
Точки
A
B
C
E
F
E
F
E
F
E
F
E
F
E
F
Координата
x
110
65
90
80
40
100
20
60
60
80
40
100
20
115
45
y
30
15
60
80
30
20
65
25
90
80
30
20
65
60
40
z
0
0
0
50
20
20
45
20
20
50
20
20
45
5
40 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Номер
варіанта
Для
варіантів
13-18
13
14
15
16*
17*
18*
Точки
S
A
B
C
E
F
E
F
E
F
E
F
E
F
E
F
Координата
x
10
115
55
100
100
35
120
30
70
30
100
35
120
30
70
30
y
40
30
10
65
55
10
15
55
60
20
55
10
15
55
60
20
z
100
30
10
25
60
20
40
50
70
25
60
20
40
50
70
25 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
*- задачу треба виконувати за допомогою способу допоміжних січних площин.
18
|
б |
|
Рис. 6 |
|
а |
19