1.2. Завдання 2. Основні позиційні та метричні задачі.

Склад завдання: визначити відстань від точки D до площини загального положення Σ(ΔABC). Номер варіанта та координати точок A, B, C, D занести в таблицю. Цю метричну задачу пропонується розв‘язати двома шляхами: спираючись на позиційні властивості пар геометричних фігур та перетворенням креслення способом заміни площин проекцій.

Перед виконанням завдання рекомендується вивчити 1, 2, 3 с. 20-27, 29-31.

Завдання виконується на аркуші формату А3.

Розрізняють два співвідношення між геометричними фігурами: позиційні та метричні. Позиційна властивість визначає розміщення геометричних фігур на площині та в просторі на основі взаємної належності одних фігур до інших. Належність може бути повною (пряма лежить у площині), частковою (пряма перетинається з площиною в точці) або її може не бути взагалі (пряма паралельна площині). Метричні властивості пов‘язуються з визначенням метричних характеристик (розмірів) відстаней, кутів та площ. Залежно від характеру вказаних властивостей розрізняють позиційні та метричні задачі.

Відстань від точки до площини вимірюється відрізком перпендикуляра п опущеним з неї на задану площину. Оскільки площина загального положення, то і перпендикуляр буде прямою загального положення.

Послідовність розв’язання задачі позиційним шляхом. Для побудови нормалі з точки D необхідно в прямокутних проекціях будувати фронталь та горизонталь заданої площини - її головні лінії. Їх проекції використовуються для побудови проекцій перпендикуляра. Для визначення основи Е перпендикуляра необхідно розв‘язати першу основну позиційну задачу на перетин прямої з площиною. Для визначення натуральної величини відрізку DЕ можна використати спосіб прямокутного трикутника.

Розв‘язання задачі шляхом перетворення проекцій полягає в тому, щоб площину Σ загального положення перевести в проекціюючу. В процесі перетворення не слід забувати про точку D, виконуючи з її прямокутними проекціями перетворення, аналогічні перетворенням точок A, B, C, що задають площину. Нормаль п з точки D на площину Σ(ΔABC) проекціюється без спотворення прямого кута і в натуральну величину на ту площину проекцій, до якої площина стане перпендикулярною. Задачу можна розв‘язувати одним зі способів перетворення.

Варіанти завдань наведені в табл. 2.

Приклад виконання завдання наведено на рис. 2.

На лівій частині робочого поля побудовано прямокутні проекції точок A, B, C, D і трикутника ABC що задає площину для розв‘язання задачі позиційним шляхом. Спочатку викреслені проекції горизонталі h та фронталі f заданої площини. Потім – проекції нормалі п, за умови, що п₁ перпендикулярно до h₁ і п₂ перпендикулярно до f₂. Основа нормалі Е визначається як точка перетину п з площиною Σ за допомогою горизонтально - проекціюючої січної площини Φ, що проходить через пряму. Проекції Φ₁ та п₁ збігаються. Послідовність побудов вказана стрілками на рис. 2. В проекціях точки E змінюється видимість проекцій перпендикуляра. Вона визначена за допомогою конкуруючих точок окремо на горизонтальній та фронтальній площинах проекцій. Видимі ланки проекцій п показані товстою суцільною лінією, а невидимі – тонкою штриховою. Натуральна величина відрізку DE прямої загального положення визначена способом прямокутного трикутника, в якому першим катетом обрано D₂E₂.

На правій частині робочого поля приведено розв’язання тієї ж задачі способом заміни площин проекцій. Особливість застосування цього способу полягає в тому, що рисунок добудовується на вільному місці робочого поля в певному напрямку. На рис. 2 - вниз та ліворуч, тому що нова ось s₁₄ перпендикулярна до h₁. Тому перед викреслюванням вихідних даних на правій частині необхідно визначити напрямок розвитку побудови за напрямками ліній h₁ або f₂, існуючими на лівій частині, та врахувати це.

На рис. 2 на вільному місці креслення перпендикулярно до h₁ побудована нова вісь s₁₄, що пов’язана з новою площиною проекцій П₄, перпендикулярною до заданої площини Σ.

10

Таблиця 2.

Варіанти завдань до визначення відстані від точки D до площини Σ(ΔABC)

Номер варіанта	Координати в міліметрах точок
	А			В			С			D
	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
1	45	5	55	5	45	10	70	15	0	60	60	40
2	90	0	20	0	50	40	10	10	0	35	65	0
3	35	60	35	5	25	10	60	30	5	55	10	50
4	80	20	10	45	0	50	0	45	45	10	0	15
5	40	5	55	0	50	10	65	20	0	70	65	55
6	70	15	50	35	0	0	10	45	20	70	50	5
7	10	10	20	55	10	50	80	60	0	25	45	50
8	75	0	20	5	15	10	55	30	50	65	45	0
9	60	65	20	45	10	50	5	10	20	75	25	10
10	45	15	55	0	5	25	60	60	10	60	10	20
11	10	20	10	55	50	10	80	0	35	20	50	45
12	75	20	0	5	10	15	55	50	30	65	0	40
13	45	55	5	5	10	50	70	0	20	75	55	50
14	75	25	0	30	15	50	10	50	20	60	45	55
15	60	20	55	45	60	10	5	20	10	75	10	25
16	45	55	15	0	25	5	60	10	50	60	20	10
17	65	20	0	0	60	50	10	0	10	35	5	45
18	80	5	20	45	70	0	0	40	45	10	15	0
19	40	55	5	0	10	50	65	0	20	70	55	50
20	45	60	20	0	20	10	60	30	50	75	25	20
21	80	20	0	75	45	30	10	35	50	0	0	55
22	75	50	15	35	0	10	10	20	45	70	5	50
23	45	55	0	5	10	45	70	0	15	65	55	45
24	35	35	55	5	10	25	60	5	30	55	50	10
25	80	0	20	10	15	10	60	30	50	70	45	0
26	45	20	50	0	10	20	60	65	30	80	20	20
27	75	5	20	30	0	55	45	25	15	5	10	50
28	65	0	55	70	55	40	15	10	20	40	20	55
29	70	65	25	40	15	60	15	50	15	20	65	70
30	75	0	25	30	50	15	10	20	50	60	55	45

Вона введена замість П₂ перпендикулярно П₁. Разом з П₂ треба замінити і фронтальні проекції всіх точок на нові. Нові лінії зв‘язку з А₁, В₁, С₁, D₁ проведено перпендикулярно до s₁₄. Нова проекція А₄ побудована на своїй новій лінії відповідності. Відстань від s₁₄ до А₄ дорівнює відстані від х₁₂ до А₂. Рівні відрізки на рис. 2 показані однією рискою. Аналогічно побудовані нові проекції інших точок з позначенням рівних відрізків, відповідно, двома, трьома та чотирма рисками. А₄В₄С₄ – пряма лінія. Це означає, що задана площина перпендикулярна до нової площини проекцій П₄. Побудови виконано вірно. Пряма з D₄, що перпендикулярна до А₄В₄С₄, і буде проекцією n₄ нормалі п. Відрізок D₄K₄ – шукана натуральна величина відстані від D до Σ.

11

Рис. 2

12