Теорема Штейнера.

А как вычислять момент инерции тела, если ось вращения не проходят через центр масс и симметрия распределение элементарных масс, составляющих тело, нарушена? В этом случае необходимо применять теорему Штейнера. Пусть ось вращения твердого тела не совпадает с центром масс и находятся на расстояние d от него. Тогда согласно теореме Штейнера:

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси О, не проходящей через центр масс, равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс и произведение массы тела на квадрат расстояние между осями:

I = I₀ +md² . ( 6.9 )

Для иллюстрации применения теоремы Штейнера вычислим момент инерции однородного стержня относительно оси вращения, находящийся на краю стержня ( см. рис. 6.6 ).

Рис. 6.6. К вычислению момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс ( применение теоремы Штейнера )

Вычисляем искомый момент инерции двумя способами:

1)Используем формулу ( 6.5 ), учитывая, что интегрирование необходимо будет веста от 0 до l ( см. рис. 6.6 ). По стандартной методике:

. ( 6.10а )

2)Применим теорему Штейнера, учитывая полученный ранее результат для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс: I₀ = ml² /12 и принимая d = l/2 :

. ( 6.10б )

Видим, что результаты совпадают, но по теореме Штейнера вычисления существенно упрощаются.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

При рассмотрении процесса вращения материального тела вокруг фиксированной оси, мы использовали понятие момента силы, вызывающего вращение тела, если этот момент ( или сумма моментов ) отличен от нуля. Также мы использовали понятие момента инерции как меры инертности тела при вращательном движении. Таким образом, прослеживается следующая аналогия поступательного и вращательного движения: сила момент силы; масса - момент инерции. Но мы знаем, что при поступательном движении тело, движущее с какой либо скоростью, обладает кинетической энергией и количеством движения. Есть ли аналог количеству движения при поступательном движении для вращающегося тела? Да имеется. Применительно к вращательному движению используется понятие момента импульса ( момента количества движения ).

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О ( см. рис. 6.7 ). Выберем материальную точку А, принадлежащую этому телу массой m_i , расположенную на расстоянии r_i от оси вращения. Поскольку тело вращается, эта материальная точка будет обладать окружной скоростью .

Введем определение момента импульса по аналогии с моментом силы:

Моментом импульса материальной точки относительно произвольно выбранной фиксированной в инерциальной системе отсчёта точки, называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора этой точки на импульс этой материальной частицы.:

Рис.6.7. К определению момента импульса.

=  = , ( 6.11 )

или в скалярном виде:

, (6.12)

где l_i = r_i Sin - плечо импульса.

Плечо импульса, как и плечо силы – это кратчайшее расстояние ( длина перпендикуляра ОВ, см. рис. 6.7 ) от оси вращения до линии действия импульса (или скорости ) DЕ. Вектор скорости при этом лежит на линии действия импульса DE.

Необходимо добавить, что компоненту момента импульса вдоль любой линии ( или оси, проходящей через фиксированную точку отсчёта ) часто называют моментом импульса частицы относительно этой оси.

Направление момента импульса определяется по правилу правого винта: если вращать правый винт от вектора к вектору по часовой стрелке, то направление перемещения винта жала винта будет задавать направление вектора . Вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и .

Для удобства пользования правилом правого винта необходимо переносить вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало находилось в точки приложения импульса частицы ( или скорости ) ( на рис. 6.7 это точка А ).

Поскольку всякое материальное тело можно представить в виде совокупности материальных точек, то моментом количества движения материального тела относительно оси называется векторная сумма моментов количества движения всех материальных точек вращающегося материального тела :

. ( 6.13 ).

Если речь идет не о вращение тела вокруг фиксированной оси, а о движение материальной точки по произвольной траектории и её моменте импульса относительно произвольно выбранной фиксированной точки, то частица в общем смысле обладает моментом импульса при любой траектории своего движения.

Все-таки наибольший интерес представляет вращение твердого тела ( совокупности материальных точек ) вокруг какой – либо определённой оси. Для поступательного движения материальной точки имеет место соотношение (II закон Ньютона):

. ( 6.14 ).

Нет ли чего-нибудь похожего для вращательного движения? Рассмотрим еще раз движение материальной точки окружности ( см. рис. 6.8 ) относительно оси вращения, проходящей через точку О.

Рис. 6.8. Момент импульса частицы при вращательном движении.

Для движения по окружности  =90 , а Sin  =1, поэтому из формулы ( 6.12 ) следует, что:

L= mvr ; . ( 6.15 )

Продифференцируем уравнение ( 6.15 ) по времени:

. ( 6.16 )

Учтем, что , поскольку , то =0, поскольку = 0 Для второго слагаемого уравнение ( 6.16 ) получим: выражение:

( 6.16 а )

( здесь мы использовали II закон Ньютона ). Таким образом, уравнение ( 6.16 ) принимает вид:

, ( 6.17 )

-скорость изменения момента импульса равна моменту силы, приложенной к материальной точке. Т.е. прослеживается аналогия с поступательным движением:

. ( 6.17а )

Если на каждую частицу твердого тела действуют внешние и внутренние силы, то уравнение ( 6.17 ) можно переписать в виде ( для одной i-ой частицы ):

. ( 6.18 )

Используя уравнение ( 6.13 ) и просуммировав по всему объёму твердого тела, получим выражение :

. ( 6.19 )

По III-му закону Ньютона каждой внутренней силе в системе материальных точек соответствует сила, равная ей по величине и направленная противоположно вдоль той же прямой, по которой действует первая сила. Моменты этих сил попарно равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому очевидно, что алгебраическая сумма моментов всех внутренних сил будет равна нулю, следовательно:

. (6.20).

Алгебраическую сумму моментов всех внешних сил, действующих на тело, назовем полным моментом внешних сил и обозначим:

. (6.21).

Тогда из соотношения (6.19) получим, что :

. (6.22).

Скорость изменения полного момента количества движения твердого тела относительно оси вращения равна полному моменту внешних сил ., приложенных к телу.

или иначе:

Импульс момента внешних сил, действующих на вращательное тело, равен изменению его момента количества движения.

Если система материальных точек замкнута и внешние силы отсутствуют (суммарный момент внешних сил равен нулю .=0 ), то:

( 6.23 ).

Уравнение ( 6.23 ) представляет собой запись закона сохранения количества движения:

В замкнутой системе материальных тел момент количества движения есть величина постоянная.