14

Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 10.

Сложение гармонических колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу. Затухающие колебания. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент. Добротность. Вынужденные колебания. Резонанс.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах одновременно, поэтому возникает проблема нахождения результирующего колебания, иными словами, колебания необходимо сложить. Если использовать механическую аналогию, то колебания могут быть, как одного направления, так и различного, частоты колебаний могут быть, как одинаковыми, так и различными.

Рассмотрим сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты. Пусть колебания происходят вдоль оси оХ:

x₁ = A₁ cos ( ω₀ t + φ₁ )

( 10.1 )

x₂ = A₂ cos ( ω₀ t + φ₂ )

Тогда результирующее колебание будет равно алгебраической сумме обоих смещений ( т.е. сумме с учетом знака слагаемых ):

X_Σ = x₁ +x₂ = A₁ cos ( ω₀ t + φ₁ ) + A₂ cos ( ω₀ t + φ₂ ) ( 10.2 )

Поскольку х₁ и х₂ спустя промежуток времени T₀ = 2π / ω₀ возвращаются к своим первоначальным значениям, то их сумма X_Σ представляет собой периодическое колебательное движение с тем же самым периодом.

Для анализа характера этого движения построим векторную диаграмму ( см. рис. 10.1 ). Из рисунка 10.1 так же видно, что величина X_Σ будет меняться со временем по закону: X_Σ = А_Σ cos ( ω₀ t + φ_Σ ), , т.е. представлять собой гармоническое колебание с тем же самым периодом.

Амплитуда А_Σ и начальная фаза φ_Σ этого результирующего гармонического колебания находятся из простых тригонометрических соотношений, вытекающих из векторной диаграммы ( формулы треугольника ):

Рис. 10.1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

, ( 10.3 )

. ( 10.4 )

Из формулы ( 10.4 ) видно, что амплитуда результирующего колебания лежит в интервале значений .

Если фазы обоих колебаний одинаковы, т.е. , то - говорят, что колебания синфазны.

Если же , то говорят, что колебания происходят в противофазе. В этом случае и из формулы ( 10.4 ) следует, что для амплитуды результирующего колебания будет иметь место соотношение :

( 10.4 а )

В частности, если таким образом складываются два колебания с одинаковыми амплитудами, то для получаем, что - оба колебания "гасят" друг друга и как бы уничтожаются.

Сложение гармонических колебаний с близкими периодами. Биения.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

Периодическое изменение амплитуды результирующего колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Для простоты рассуждений положим, что амплитуды колебаний равны А=А₁ =

= А₂, а частоты соответственно равны , причем . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

. ( 10.5 ).

Используя известные тригонометрические тождества ( т.н. формулы приведения ), результирующее колебание можно записать в следующем виде:

. ( 10.6 ).

Выражение ( 10.6 ) представляет собой произведение двух сомножителей и результирующее колебание можно рассматривать, как гармоническое с частотой , амплитуда А_б которого изменяется по гармоническому закону:

. ( 10.7 ).

Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса ( т.к. значение амплитуды берется по модулю ), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: .Соответственно, период биений будет равен .

График результирующего колебания приведен на рис. 10.2, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания ( см. ф-лу 10.6 ), а огибающие их пунктирные линии – график медленно меняющейся в соответствии с уравнением ( 10.7 ) амплитуды колебаний.

Рис. 10.2. Возникновение биений при сложении колебаний с близкими частотами .(рис. 204 из Трофимовой).

Из графика на рис. 10.2 наглядно видно, что в те моменты времени, когда фаза₁  фаза ₂, то колебания складываются и . Поскольку частоты исходных колебаний все же несколько отличаются друг от друга, то спустя некоторый промежуток времени одно из колебаний отстанет от другого по фазе на  радиан - фазы колебаний станут почти противоположными и . Именно такое периодически повторяющееся возрастание и убывание амплитуды результирующего колебания и есть биения.

Биения - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины частоты колебаний с эталонной для колебательных процессов.