Работа внешних сил при вращении твердого тела.

Пусть твердое тело имеет фиксированную ось вращения, проходящую через точку О. ( см. рис. 6.11 ). Пусть сила , вызывающая вращение тела, приложена в точке А, находящейся на расстоянии r от оси вращения. Под действием этой силы за промежуток времени dt тело повернется на малый угол d и точка приложения силы А совершит малое перемещение dS.

Рис. 6.11. К выводу формулы для работы внешних сил при вращении твердого тела.

На рис. 6.11 через  обозначен угол между векторами , а через l – плечо силы в начале вращения. Т.к. тело абсолютно твердое, то работа силы будет равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на угол d точка приложения силы А пройдет путь dS = r*d и работа будет равна произведению проекций силы на направление смещения ( на рисунке эта проекция обозначена, как ) на величину смещения :

. ( 6.29 ).

При проектировании силы на направление смещения при малой величине угла d будет справедливо приближенное соотношение , т.к. будет являться касательной к окружности радиусом r в точке А.

Перепишем уравнение ( 6.29 ) несколько иначе:

, ( 6.30 )

учитывая, что F*l= Мвр. – вращательный момент силы относительно оси, проходящей через точку О.

Выражение ( 6.30 ) можно получить другим способом, используя выражение для кинетической энергии вращающегося тела ( уравнение ( 6.27 ) ).

Воспользуемся тем, что работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на приращение его кинетической энергии. Возьмем дифференциал от обеих частей равенства ( 6.27 ):

( 6.31 ).